מספר מחלקה (תורת המספרים)

במתמטיקה ובפרט בתורת המספרים האלגברית מספר המחלקה הוא אינווריאנט מספרי של שדה מספרים (או באופן כללי יותר שדה גלובלי). ערכו של מספר המחלקה מוגדר להיות גודל חבורת המחלקה. מספר המחלקה הוגדר על ידי ריכרד דדקינד שפיתח נוסחה לחישוב מספר זה הנקראת על שמו. עבודותיו של דדקינד התבססו על עבודות מוקדמות יותר של דיריכלה וגאוס שחקרו מושג מקביל בהקשר של תבניות ריבועיות. מנקודת מבט מודרנית, מספר המחלקה שחקרו דיריכלה וגאוס הוא מקרה פרטי של מספר המחלקה של שדה מספרים כאשר שדה המספרים הוא הרחבה ריבועית של תבנית:QQ.

הגדרה פורמלית

בהינתן שדה מספרים תבנית:לאטך נסמן ב-תבנית:לאטך את חוג השלמים ב-תבנית:לאטך. נזכיר שחוג השלמים ב-תבנית:לאטך הוא אוסף האיברים ב-תבנית:לאטך שמקיימים משוואה פולינומית מתוקנת עם מקדמים ב-תבנית:Z. באופן מפורש: $$O_K=\{x\in K|\mathrm{\exists }{a}_0,\dots a_n\in \mathbb{Z}\text{ s.t. }{x}^{n+1}+a_n{x}^n+\dots +a_0=0\}$$ החוג תבנית:לאטך הוא תחום דדקינד.

חבורת מחלקות האידיאלים של תבנית:לאטך מוגדת להיות חבורת מחלקות האידיאלים של החוג תבנית:לאטך. מספר המחלקה של תבנית:לאטך מוגדר להיות הסדר של חבורה זו.

קשר לתבנית ריבועיות

תבנית:ערך מורחב עבור מספר שלם $d$, מספר המחלקה של השדה $\mathbb{Q}⟨\sqrt{d}⟩$ שווה למספר המחלקה של המספר $d$ כפי שהוגדר על ידי גאוס בהקשר של תבניות ריבועיות.

נוסחת מספר מחלקה

תבנית:ערך מורחב דדקינד פיתח נוסחה שקושרת בין מספר המחלקה של שדה תבנית:לאטך לבין שארית הקוטב של פונקציית זטא של דדקינד של תבנית:לאטך.

ראו גם

• חבורת מחלקות האידיאלים
• נוסחת מספר המחלקה של דדקינד
• מספר מחלקה (תבניות ריבועיות)

לקריאה נוספת

• Władysław Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld