בעיה n-גופית

בפיזיקה, הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית היא הבעיה של חיזוי תנועה של קבוצת עצמים שמימיים המקיימים אינטראקציית כבידה זה עם זה.^[1] המוטיבציה לפתרון הבעיה היה הרצון להבין את תנועות השמש, הירח וכוכבי הלכת והכוכבים. במאה ה-20, הבנת הדינמיקה של מערכות כוכבי צביר כדוריות הפכה לבעיה תבנית:Mvar-גופית חשובה.^[2] הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית בתורת היחסות הכללית קשה הרבה יותר לפתרון, גם בשל המורכבות המתמטית של התיאוריה וגם עקב גורמים נוספים כמו עיוותי זמן ומרחב.

היסטוריה

באמצעות נתונים של שלושה מיקומים של כוכב לכת במסלולו – מיקומים שקיבל סר אייזק ניוטון מהאסטרונום ג'ון פלמסטיד תבנית:אנ^[3] – ניוטון הצליח לנסח משוואה, שחוזה את תנועתו של כוכב לכת; כלומר, נותנת את מאפייני המסלול שלו: מיקום, קוטר מסלול, זמן מחזור ומהירות מסלול.^[4] אך במהרה התגלה כי משוואות התנועה הללו לא חזו בדיוק חלק מהמסלולים.^[5] ניוטון הבין שחוסר הדיוק נובע מכוחות הכבידה שכוכבי הלכת מפעילים זה על זה.

תובנה זו פוגעת הישר בלב הבעיה ה-n-גופית: כפי שניוטון הבין, לא מספיק לדעת את המיקום והמהירות ההתחלתית או שלוש קוארדינטות על המסלול, כדי למצוא את המסלול של כוכב לכת; יש גם להיות מודעים לכוחות הכבידה שמפעילים עליו כוכבי הלכת האחרים. כך התעוררה, בתחילת המאה ה-17, המודעות ל"בעיה ה-תבנית:Mvar גופית".

כוחות משיכה כבידה אלה אכן מתאימים לחוקי התנועה של ניוטון ולחוק הכבידה האוניברסלי שלו, אך האינטראקציות המרובות (תבנית:Mvar גופים) הופכות את הפתרון המדויק לבלתי אפשרי במקרה הכללי.

מציאת הפתרון הכללי של הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית נחשבה חיונית ועם זאת מאתגרת מאוד. ואכן, בסוף המאה ה-19, מלך שוודיה אוסקר השני, הכריז על פרס למי שיציע פתרון לבעיה.^[6]

ניסוח כללי

הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית מניחה תבנית:Mvar מסות נקודתיות תבנית:נוסחה במערכת ייחוס אינרציאלית במרחב תלת־ממדי, שנעות תחת השפעת כוחות משיכה הדדית של כבידה. לכל מסה תבנית:נוסחה יש וקטור מיקום תבנית:נוסחה. על פי החוק השני של ניוטון, מסה כפול תאוצת הגוף שווה לסך כל הכוחות שפועלים עליה. על פי חוק הכבידה העולמי של ניוטון כוח המשיכה ששתי מסות תבנית:נוסחה ו תבנית:נוסחה מפעילות זו על זו הוא

$𝐅_{i j} = \frac{G m_{i} m_{j}}{{‖ 𝐪_{j} - 𝐪_{i} ‖}^{2}} \frac{(𝐪_{j} - 𝐪_{i})}{‖ 𝐪_{j} - 𝐪_{i} ‖} = \frac{G m_{i} m_{j} (𝐪_{j} - 𝐪_{i})}{{‖ 𝐪_{j} - 𝐪_{i} ‖}^{3}},$

כאשר תבנית:Mvar הוא קבוע הכבידה העולמי ו $‖ 𝐪_{j} - 𝐪_{i} ‖$ המרחק בין המסות.

סיכום הכוחות על כל המסות נותן את משוואות התנועה ל-n הגופים $m_{i} \frac{d^{2} 𝐪_{i}}{d t^{2}} = \sum_{\binom{j = 1}{j \neq i}}^{n} \frac{G m_{i} m_{j} (𝐪_{j} - 𝐪_{i})}{{‖ 𝐪_{j} - 𝐪_{i} ‖}^{3}} = - \frac{\partial U}{\partial 𝐪_{i}}$

כאשר $U$ היא האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת $U = - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{G m_{i} m_{j}}{‖ 𝐪_{j} - 𝐪_{i} ‖} .$

עם הגדרת המומנטום $𝐩_{i} = m_{i} \frac{d 𝐪_{i}}{d t}$ משוואות התנועה ההמילטוניות לבעיה ה-n-גופית הופכות ל^[7] $\frac{d 𝐪_{i}}{d t} = \frac{\partial H}{\partial 𝐩_{i}} \frac{d 𝐩_{i}}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial 𝐪_{i}},$ כאשר ההמילטוניאן הוא

$H = T + U$ ו T האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת $T = \sum_{i = 1}^{n} \frac{{‖ 𝐩_{i} ‖}^{2}}{2 m_{i}} .$

על פי משוואות התנועה ההמילטוניות הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית מהווה מערכת של תבנית:נוסחה משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, עם תבנית:נוסחה תנאי התחלה - תבנית:נוסחה קואורדינטות מיקום התחלתיות ו תבנית:נוסחה ערכי תנע התחלתיים.

סימטריות בבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית מספקות קבועי תנועה, באופן שמפשט את הבעיה.^[7] היות שהבעיה סימטרית להזזה מתקיים חוק שימור התנע הכולל של המערכת, ולכן מרכז המסה $𝐂 = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} 𝐪_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}$ נע במהירות קצובה ובקו ישר. כלומר תבנית:נוסחה, כאשר תבנית:נוסחה היא המהירות הקווית ו-תבנית:נוסחה היא המיקום ההתחלתי. קבועי התנועה תבנית:נוסחה ו - תבנית:נוסחה מהווים סה"כ שישה קבועי תנועה. סימטריה סיבובית גורמת לכך שהתנע הזוויתי הכולל הוא קבוע $𝐀 = \sum_{i = 1}^{n} 𝐪_{i} \times 𝐩_{i},$ כאשר $\times$ הוא אופרטור המכפלה הווקטורית. שלושת המרכיבים של התנע הזוויתי הכולל תבנית:נוסחה מהווים שלושה קבועי תנועה נוספים. קבוע התנועה האחרון מתקבל משימור האנרגיה תבנית:Mvar. מכאן שלכל בעיה תבנית:Mvar-גופית יש עשרה קבועי תנועה.

מכיוון ש - תבנית:Mvar ו - תבנית:Mvar הם פונקציות הומוגניות מדרגה 2 ו-1, בהתאמה, משוואות התנועה אינווריאנטיות לכיול: כלומר, אם תבנית:נוסחה הוא פתרון, אז גם תבנית:נוסחה הוא פתרון לכל תבנית:נוסחה.^[8]

מקרים מיוחדים

בעיית שני הגופים

תבנית:הפניה לערך מורחב

בעיית שני הגופים הכללית עוסקת בשני גופים ופוטנציאל כללי שתלוי אך ורק במרחק בין שני הגופים. בעיית קפלר הוא מקרה פרטי החשוב ביותר, שבו המרחב הוא תלת־ממדי והפוטנציאל הוא פוטנציאל חוק הכבידה העולמי.

בעיית קפלר (תבנית:נוסחה) נפתרה על ידי יוהאן ברנולי (1667–1748) באמצעות התיאוריה הקלאסית (ולא על ידי ניוטון) על ידי הנחה שמסת הנקודה העיקרית הייתה קבועה;^[9] בתנועה של שני גופים, למשל השמש וכדור הארץ, כשהשמש קבועה, ואז: $\begin{matrix} m_{1} 𝐚_{1} & = \frac{G m_{1} m_{2}}{r_{12}^{3}} (𝐫_{2} - 𝐫_{1}) & Sun–Earth \\ m_{2} 𝐚_{2} & = \frac{G m_{1} m_{2}}{r_{21}^{3}} (𝐫_{1} - 𝐫_{2}) & Earth–Sun \end{matrix}$ המשוואה המתארת את תנועת המסה תבנית:נוסחה ביחס למסה תבנית:נוסחה מתקבלת מההפרש של שתי המשוואות הללו, ולאחר ביטול איברים משותפים מתקבל: $α + \frac{η}{r^{3}} 𝐫 = 𝟎$ כאשר

תבנית:נוסחה הוא וקטור המיקום של תבנית:נוסחה
תבנית:Mvar הוא וקטור התאוצה האוילרית $\frac{d^{2} 𝐫}{d t^{2}}$
$η = G (m_{1} + m_{2})$

המשוואה $α + \frac{η}{r^{3}} 𝐫 = 𝟎$ היא המשוואה הדיפרנציאלית היסודית לבעיה הדו-גופית תחת שדה כבידה.

בעיית שלושת הגופים

תבנית:הפניה לערך מורחב סעיף זה מתייחס לפתרון הבעיה ה-תבנית:Mvar גופית לאחר שנעשו הנחות מפשטות.

בעבר לא היה ידוע הרבה על הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית עבור תבנית:נוסחה.^[10] המקרה התלת-גופי (תבנית:נוסחה) נחקר ביותר. ניסיונות רבים קודמים להבין את בעיית שלושת הגופים היו כמותיים, ומטרתם הייתה למצוא פתרונות מפורשים למצבים ספציפיים.

ב-1687 פרסם אייזק ניוטון ב-Principia את השלבים הראשונים בחקר בעיית התנועות של שלושה גופים הכפופים למשיכה ההדדית של הכבידה שלהם.
בשנת 1767, מצא אוילר תנועות קולינאריות, שבהן שלושה גופים נעים לאורך קו ישר קבוע. בעיית שלושת הגופים של אוילר היא מקרה מיוחד שבו שניים מהגופים מקובעים במרחב (אין לבלבל זאת עם בעיית שלושת הגופים המוגבלת מעגלית, שבה שני הגופים המסיביים מתארים מסלול מעגלי).
בשנת 1772 גילה לגראנז' שני סוגים של פתרון מחזורי, כל אחד עבור שלושה גופים בכל מסה. בסוג אחד, הגופים נמצאים על קו ישר מסתובב. בסוג השני הגופים נמצאים על קודקודיו של משולש שווה-צלעות מסתובב. בשני המקרים המסלולים של הגופים יהיו חתכים חרוטיים. פתרונות אלה הובילו למחקר של תצורות מרכזיות, שעבורן תבנית:נוסחה עבור קבוע כלשהו תבנית:נוסחה.
מחקר גדול על המערכת שמש-ארץ-ירח בוצע על ידי שארל-אוג'ן דלאוני תבנית:אנ. העבודה מרמזת על הכאוטיות של הבעיה.
בשנת 1917, פורסט ריי מולטון את ספרו מבוא למכניקה שמימית עם פתרון לבעיית שלושת הגופים המצומצמת.^[11]

בעיית ארבעת הגופים

בהשראת בעיית שלושת הגופים המוגבלת המעגלית, ניתן לפשט מאוד את בעיית ארבעת הגופים על ידי התחשבות בגוף קטן יותר כבעל מסה קטנה בהשוואה לשלושת הגופים המאסיביים האחרים, שבתורם מתארים מסלולים מעגליים. זו ידועה כבעיית ארבעת הגופים המוגבלת הדו-מעגלית (הידועה גם כדגם דו-מעגלי).^[12] ניסוח זה היה רלוונטי מאוד באסטרודינמיקה, בעיקר למודל של מסלולי חלליות במערכת כדור הארץ-ירח בתוספת משיכה הכבידה של השמש.

הבעיה הפלנטרית

הבעיה הפלנטרית היא בעיה תבנית:Mvar-גופית, כאשר אחת המסות גדולה בהרבה מכל האחרות. דוגמה טיפוסית לבעיה פלנטרית היא המערכת שמש-צדק-שבתאי, שבה מסת השמש גדולה בערך פי 1000 מהמסות של צדק או שבתאי,תבנית:הערה פתרון מקורב לבעיה הוא לפרק אותה ל - תבנית:נוסחה זוגות של בעיות קפלר של כוכב-כוכב, תוך התייחסות לאינטראקציות בין כוכבי הלכת כאל הפרעות. קירוב הפרעתי עובד היטב כל עוד אין תהודות מסלוליות במערכת, כלומר אף אחד מהיחסים של תדרי קפלר הלא מופרעים הוא מספר רציונלי. רזוננסים מופיעים כמכנים קטנים בפיתוח ההפרעתי.

גישות אנליטיות

לכל פתרון של הבעיה, איזומטריה, הזזה בזמן והיפוך זמן נותן פתרון.

פתרון בטור חזקות

אחת הדרכים לפתור את הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית היא באמצעות "טור טיילור"^[13]

נתחיל בהגדרת מערכת משוואות דיפרנציאליות של הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית: $\frac{d^{2} 𝐱_{i} (t)}{d t^{2}} = G \sum_{\binom{k = 1}{k \neq i}}^{n} \frac{m_{k} (𝐱_{k} (t) - 𝐱_{i} (t))}{{| 𝐱_{k} (t) - 𝐱_{i} (t) |}^{3}}$ כיוון ש $𝐱_{𝐢} (t 0)$ ו $\frac{d 𝐱_{𝐢} (t_{0})}{d t}$ נתונים כתנאי התחלה, גם הנגזרות השניות ידועות ב- $t_{0}$ . הגזירה של $\frac{d^{2} 𝐱_{i} (t)}{d t^{2}}$ ביחס ל-t נותן את $\frac{d^{3} 𝐱_{i} (t)}{d t^{3}}$ שגם אותו ניתן לחשב ב- $t_{0}$ , וכך ניתן לחשב באופן איטרטיבי את טור טיילור המתאר את ההתפתחות בזמן של המערכת.

סימולציה נומרית

אמנם ישנם פתרונות אנליטיים זמינים לבעיית שני הגופים הקלאסית (כלומר הלא-יחסותית) ולקונפיגורציות ספציפיות עם תבנית:נוסחה, אך באופן כללי יש לפתור או לדמות בעיות תבנית:Mvar-גופיות באמצעות שיטות נומריות.^[14]

גופים מעטים

עבור מספר קטן של גופים, ניתן לפתור בעיה תבנית:Mvar-גופית באמצעות שיטות ישירות, הנקראות גם שיטות חלקיקים-חלקיקים. שיטות אלו משלבות באופן נומרי את משוואות התנועה הדיפרנציאליות. אינטגרציה נומרית לבעיה זו יכולה להיות מאתגרת מכמה סיבות: ראשית, פוטנציאל הכבידה הוא סינגולרי, ושואף לאינסוף כשהמרחק בין שני חלקיקים שואף לאפס. ניתן "לרכך" את פוטנציאל הכבידה על ידי הוספת איבר חיובי קטן במכנה כדי להסיר את הסינגולריות במרחקים קטנים:^[14] $U_{ε} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{G m_{i} m_{j}}{\sqrt{{‖ 𝐪_{j} - 𝐪_{i} ‖}^{2} + ε^{2}}}$ שנית, באופן כללי עבור תבנית:נוסחה, הבעיה ה-תבנית:Mvar-גופית היא כאוטית,^[15] כלומר אפילו שגיאות קטנות באינטגרציה עשויות לגדול אקספוננציאלית בזמן. שלישית, סימולציה עשויה להיות על פני משכי זמן גדולים של המודל (למשל מיליוני שנים) ושגיאות מספריות מצטברות ככל שגדל מספר צעדי האינטגרציה.

ישנן מספר טכניקות לצמצום שגיאות באינטגרציה נומרית.^[4] מערכות קואורדינטות מקומיות משמשות להתמודדות עם סקאלות שונות בבעיות מסוימות. למשל, לסימולציה של המערכת שמש-ארץ-ירח. שיטות וריאציה או כאלה המשתמשות בתורת ההפרעות יכולות להניב מסלולים אנליטיים מקורבים ששניתן לדייק באמצעות אינטגרציה נומרית.

גופים מרובים

שיטות ישירות המשתמשות באינטגרציה נומרית דורשות סדר גודל של $\frac{1}{2} n^{2}$ חישובים להערכת האנרגיה הפוטנציאלית. ולכן סיבוכיות הזמן שלהן היא $O (n^{2})$ . עבור סימולציות עם גופים מרובים, פקטור $O (n^{2})$ הופך את החישובים לבלתי מעשיים, ולכן פותחו שיטות מקורבות המפחיתות את סיבוכיות הזמן ביחס לשיטות הישירות.^[14]

ראו גם

קישורים חיצוניים

תבנית:ויקישיתוף בשורה

הערות שוליים

תבנית:הערות שוליים תבנית:בקרת זהויות

↑ תבנית:צ-ספר
↑ תבנית:צ-ספר
↑ תבנית:Cite book.
↑ ^4.0 ^4.1 See תבנית:Cite book
↑ תבנית:צ-ספר
↑ תבנית:צ-ספר
↑ ^7.0 ^7.1 תבנית:צ-ספר
↑ Chenciner 2007
↑ See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.
↑ See Leimanis and Minorsky's historical comments.
↑ תבנית:צ-ספר
↑ תבנית:Cite journal
↑ תבנית:צ-מאמר
↑ ^14.0 ^14.1 ^14.2 תבנית:צ-מאמר
↑ תבנית:צ-ספר

[1] תבנית:צ-ספר

[2] תבנית:צ-ספר

[3] תבנית:Cite book.

[:0-4] 4.0 ^4.1 See תבנית:Cite book

[5] תבנית:צ-ספר

[6] תבנית:צ-ספר

[:1-7] 7.0 ^7.1 תבנית:צ-ספר

[Chenciner_2007-8] Chenciner 2007

[Bate,_Mueller,_and_White-9] See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.

[10] See Leimanis and Minorsky's historical comments.

[11] תבנית:צ-ספר

[12] תבנית:Cite journal

[13] תבנית:צ-מאמר

[:2-14] 14.0 ^14.1 ^14.2 תבנית:צ-מאמר

[15] תבנית:צ-ספר

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

בעיה n-גופית

תוכן עניינים

היסטוריה

ניסוח כללי

מקרים מיוחדים

בעיית שני הגופים

בעיית שלושת הגופים

בעיית ארבעת הגופים

הבעיה הפלנטרית

גישות אנליטיות

פתרון בטור חזקות

סימולציה נומרית

גופים מעטים

גופים מרובים

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

בעיה n-גופית

היסטוריה

ניסוח כללי

מקרים מיוחדים

בעיית שני הגופים

בעיית שלושת הגופים

בעיית ארבעת הגופים

הבעיה הפלנטרית

גישות אנליטיות

פתרון בטור חזקות

סימולציה נומרית

גופים מעטים

גופים מרובים

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש