חלום המתחיל (מתמטיקה)

איור של "חלום השנה הראשונה" בשני ממדים. כל צלע של הריבוע היא באורך X+Y. שטח הריבוע הוא סכום שטח האזור הצהוב (=X²), שטח האזור הירוק (=Y²), ושטח שני האזורים הלבנים (=2×X×Y).

חלום השנה הראשונה הוא כינוי לשוויון השגוי $(x+y{)}^n=x^n+y^n$, שבו $n$ הוא מספר ממשי (בדרך כלל שלם חיובי הגדול מ-1) ו-$x,y$ הם מספרים ממשיים שאינם אפס. תלמידים מתחילים נוהגים לטעות בחישוב חזקה של סכום מספרים ממשיים, בהניחם בטעות כי חזקות מתפלגות על סכומים.

החישוב הנכון של החזקה $(x+y{)}^n$ נעשה על ידי משפט הבינום. למשל, כאשר $n=2$, נוסחאות הכפל המקוצר מראות שהביטוי $(x+y{)}^2$ שווה ל-$x^2+2xy+y^2$, ולא ל-$x^2+y^2$.

השימוש בשם "חלום השנה הראשונה" מתייחס גם לעיתים למשפט הקובע כי עבור מספר ראשוני $p$, אם $x$ ו-$y$ הם איברים מתחלפים בחוג בעל מאפיין $p$, אז $(x+y{)}^p=x^p+y^p$. במקרה המסוים הזה, "הטעות" אכן נותנת את התוצאה הנכונה, שכן $p$ מחלק את כל המקדמים הבינומיים מלבד הראשון והאחרון, והופך את כל האיברים האמצעיים לאפס.

דוגמאות

• $(1+4{)}^2=5^2=25$, אבל $1^2+4^2=17$.
• $\sqrt{x^2+y^2}$ לא שווה ל-$\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=|x|+|y|$. לדוגמה, עבור 3 ו-4, מתקיים $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, אבל זה לא שווה ל-תבנית:Nowrap. בדוגמה זו, הטעות נעשתה עם החזקה $n=1/2$.

מאפיין ראשוני

כאשר $p$ הוא מספר ראשוני ו-$x$ ו-$y$ הם חברים בחוג חילופי בעל מאפיין $p$, אז $(x+y{)}^p=x^p+y^p$. ניתן להוכיח זאת באמצעות בחינת הגורמים הראשוניים של המקדמים הבינומיים:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})=\frac{p!}{n!(p-n)!}.$

המונה הוא $p$ עצרת (!), שהיא מתחלקת ב-$p$. עם זאת, כאשר $0<n<p$, גם $n!$ וגם $(p-n)!$ זרים ל-$p$, שכן כל הגורמים קטנים מ-$p$ ו-$p$ הוא מספר ראשוני. מכיוון שמקדם בינומי הוא תמיד מספר שלם, המקדמים הבינומיים עבור $n$ בין $1$ ל-$p-1$ מתחלקים ב-$p$ ולכן שווים ל-0 בחוג. נשארים המקדם הראשון והאחרון, ששניהם שווים ל-1, והתוצאה היא המשוואה הרצויה.

לכן, במאפיין $p$, חלום השנה הראשונה מתקיים. תוצאה זו מראה שהעלאה בחזקת $p$ יוצרת אנדומורפיזם, הידוע כאנדומורפיזם פרובניוס של החוג.