טיוטה:ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

באלגברה ליניארית, וקטור עצמי או וקטור מאפיין הוא וקטור שכיוונו לא משתנה (או שכיוונו נהיה הפוך) לאחר החלת טרנספורמציה ליניארית נתונה. ליתר דיוק, וקטור עצמי, $𝐯$, של טרנספורמציה ליניארית, $T$, משתנה לפי גורם קבוע, $\lambda$, כאשר השינוי הליניארי מוחל עליו: $T𝐯=\lambda 𝐯$ . הערך העצמי המתאים, הערך המאפיין או השורש המאפיין הוא גורם הכפל $\lambda$ (שייתכן והוא שלילי).

מבחינה גאומטרית, וקטורים הם גדלים רב -ממדיים עם גודל וכיוון, המוצגים לעיתים קרובות כחצים. טרנספורמציה ליניארית מסובבת, מותחת או גוזרת את הווקטורים שעליהם היא פועלת. הווקטורים העצמיים של הטרנספורמציה הם אותם וקטורים שנמתחים רק, ללא סיבוב או גזירה. הערך העצמי המתאים הוא המקדם שבאמצעותו הווקטור העצמי נמתח. אם הערך העצמי שלילי, כיוון הווקטור העצמי הפוך. תבנית:Sfn

הווקטורים העצמיים והערכים העצמיים של טרנספורמציה ליניארית משמשים לאפיין אותה, ולכן הם ממלאים תפקידים חשובים בכל התחומים שבהם מיושמת אלגברה ליניארית, מגאולוגיה ועד מכניקת הקוונטים. בפרט, לעיתים קרובות קורה שמערכת כלשהי מיוצגת על ידי טרנספורמציה ליניארית שהתוצאות שהיא הפיקה הוזנו שוב פעם לאותה טרנספורמציה (משוב). במקרה כזה, אל הערך העצמי הגדול ביותר ישנה חשיבות מיוחדת, מכיוון שהוא שולט בהתנהגות ארוכת הטווח של המערכת לאחר החלות רבות של הטרנספורמציה הליניארית, והווקטור העצמי המשויך הוא המצב היציב של המערכת.

הַגדָרָה

יהי מטריצה ריבועית A $n\times n$ ווקטור שאינו אפס $𝐯$ השייך ל$F^n$. אם מכפילים את תבנית:Mvar עם $𝐯$ (מסומן על ידי $A𝐯$ ) והתוצאה היא $𝐯$ כפול סקלר כלשהו תבנית:Mvar השייך לשדה הנתון. $𝐯$ יקרא הווקטור העצמי של A. ו- תבנית:Mvar יקרא הערך העצמי המתאים ל$𝐯$. קשר זה יכול להתבטא כך: $A𝐯=\lambda 𝐯$ .

קיימת פונקציה חח"ע ועל ישירה בין מטריצות ריבועיות מגודל n לבין טרנספורמציות ליניאריות ממרחב וקטורי n - ממדי לתוך עצמו (הם איזומורפיזמים אחד לשני), בינתן כל בסיס של המרחב הווקטורי. לפיכך, במרחב וקטורי סופי, שווה ערך להגדיר וקטורים עצמיים וערכים עצמיים באמצעות שפת המטריצות או שפת טרנספורמציות ליניאריות. תבנית:Sfn תבנית:Sfn

סקירה כללית

במהותו, וקטור עצמי v של טרנספורמציה ליניארית T הוא וקטור שאינו אפס שכאשר T מוחל עליו, אינו משנה כיוון. החלת T על הווקטור העצמי רק משנה את אורכו של הווקטור העצמי במכפלת הערך הסקלרי λ, הנקרא הערך העצמי. תנאי זה יכול להיכתב כמשוואה $$T(𝐯)=\lambda 𝐯,$$באופן כללי, λ עשוי להיות כל סקלר. לדוגמה, λ עשוי להיות שלילי, ובמקרה זה הווקטור העצמי הופך את כיוונו, או שהוא יכול להיות אפס או מרוכב במקרים מסוימים.

בטרנספורמציה ליניארית זאת החץ האדום משנה כיוון, אך החץ הכחול לא. ולכן החץ הכחול הוא הווקטור העצמי של הטרנספורמציה מכיוון שהוא אינו משנה כיוון. בנוסף מכיוון שאורכו אינו משתנה, הערך העצמי שלו הוא 1.

מטריצה ממשית וסימטרית בגודל 2×2 המייצגת מתיחה וגזירה של המישור. הווקטורים העצמיים של המטריצה (מסומנים בקווים אדומים) הם שני הכיוונים המיוחדים כך שכל נקודה עליהם לא תשנה כיוון.

• קבוצת כל הווקטורים העצמיים של טרנספורמציה ליניארית, כל אחד בזוג סדור עם הערך העצמי המתאים לו, נקראת המערכת העצמית של אותה טרנספורמציה. תבנית:Sfn תבנית:Sfn
• קבוצת כל הווקטורים העצמיים של T המשויכים לאותו ערך עצמי, יחד עם וקטור האפס, נקראת המרחב עצמי, או המרחב האופייני של T השייך לאותו ערך עצמי. תבנית:Sfn
• אם קבוצה של וקטורים עצמיים של T מהווה בסיס לתחום של T, אז הבסיס הזה נקרא בסיס עצמי .

הִיסטוֹרִיָה

ערכים עצמיים מוצגים לעיתים קרובות בהקשר של אלגברה ליניארית או תורת המטריצות. היסטורית, לעומת זאת, הם התעוררו בחקר צורות ריבועיות ומשוואות דיפרנציאליות .

במאה ה-18, לאונרד אוילר חקר את התנועה הסיבובית של גוף קשיח, וגילה את חשיבותו של מומנט האינרציה . [a] יוסף-לואי לגראנז' הבין שמומנט האינרציה הוא הווקטור העצמי של מטריצת האינרציה. תבנית:Sfn

בתחילת המאה ה-19, אוגוסטין-לואי קושי תבנית:Sfn טבע את המונח racine caractéristique (שורש אופייני), דרך אחרת לתאר את מה שנקרא כיום הערך העצמי ; המונח בא לידי ביטוי בפולינום האופייני .

מאוחר יותר, ג'וזף פורייה השתמש בעבודתם של לגרנז' ופייר-סימון לפלס כדי לפתור את משוואת החום על ידי הפרדת משתנים בעבודתו משנת 1822 The Analytic Theory of Heat (Théorie analytique de la chaleur) . תבנית:Sfn

שארל-פרנסואה שטורם הרחיב יותר את רעיונותיו של פורייה, והביא אותם לידיעתו של קושי, ששילב אותם עם רעיונותיו שלו והגיע לעובדה שלמטריצות סימטריות ממשיות יש ערכים עצמיים ממשיים.תבנית:Sfn צ'ארלס הרמיט הרחיב זאת עוד יותר ב-1855 וטבע את המונח מטריצות הרמיטיות . תבנית:Sfn

בערך באותו זמן, פרנצ'סקו בריוש'י הוכיח שהערכים העצמיים של מטריצות אורתוגונליות נמצאים על מעגל היחידה, תבנית:Sfn ואלפרד קלבש מצא את התוצאה המקבילה למטריצות אנטי סימטריות . תבנית:Sfn לבסוף, קארל ויירשטראס האיר שבתורת היציבות^[אנ'] שפיתח לאפלס, מטריצות פגומות עלולות לגרום לאי יציבות. תבנית:Sfn

בינתיים, ג'וזף ליווויל חקר בעיות של ערכים עצמיים הדומים לאלו של שטורם; הדיסציפלינה שצמחה מעבודתם נקראת כיום תאוריית שטורם-ליוביל . תבנית:Sfn שוורץ חקר את הערך העצמי הראשון של משוואת לפלס על תחומים כלליים לקראת סוף המאה ה-19, בעוד שפואנקרה חקר את משוואת פואסון כמה שנים מאוחר יותר. תבנית:Sfn

בתחילת המאה ה-20, דייוויד הילברט חקר את הערכים העצמיים של אופרטורים אינטגרלים על ידי השמת האופרטורים כמטריצות אינסופיות. תבנית:Sfn הוא היה הראשון בשנת 1904, שהשתמש במילה הגרמנית eigen, שפירושה "של עצמו", לציון ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים. במשך זמן מה, המונח הסטנדרטי באנגלית היה "proper value", אך המונח הברור יותר "eigenvalue" הוא הסטנדרט כיום. תבנית:Sfn

ראו גם

• ערך עצמי
• וקטור עצמי
• מפעיל עצמי
• אלגוריתם ערך עצמי
• מצבים קוונטיים
• צורת ז'ורדן
• רשימה של תוכנות לניתוח מספרי
• ערך עצמי נורמלי
• ערך סינגולרי
• ספקטרום של מטריצה

לקריאה נוספת

• תבנית:Citation
• תבנית:Cite web
• תבנית:Citation
• תבנית:Citation
• תבנית:Citation

תבנית:Refend [[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]