משפט קיילי-בכראך
משפט קיילי-בכראך הוא משפט מתמטי לעקומים ממעלה 3 במישור הפרויקטיבי תבנית:נוסחה . הניסוח המקורי הוא:
- נניח ששני עקומים ממעלה 3 תבנית:נוסחה ו- תבנית:נוסחה במישור הפרויקטיבי נפגשים בתשע נקודות (שונות), כפי שהם עושים באופן כללי בשדה סגור אלגברית. אזי שכל עקום ממעלה 3 שעובר דרך כל שמונה מהנקודות עובר גם דרך הנקודה התשיעית.
צורה טבעית יותר של משפט קיילי-בכראך מנוסחת כך:
- כל עקום ממעלה 3 מעל שדה סגור אלגברית שעובר דרך קבוצה נתונה של שמונה נקודות תבנית:נוסחה עובר גם דרך נקודה תשיעית תבנית:נוסחה שתלויה רק ב תבנית:נוסחה (כולל ריבוי).
תוצאה קשורה על שניוניות הוכחה לראשונה על ידי הגאומטריקן הצרפתי מישל שסלה ולאחר מכן הוכללה לעקומים ממעלה 3 על ידי ארתור קיילי ואיזק בכראך.
יישומים
מקרה פרטי הוא משפט פסקל, ובמקרה זה שני העקומים מנוונים: בהינתן שש נקודות על שניונית (שיוצרות משושה), נשקול את הקווים המתקבלים על ידי הארכת צלעות נגדיות - נקבל זוג עקומים ממעלה 3 המורכבים משלושה ישרים כל אחד, אשר נחתכים ב-9 נקודות - 6 הנקודות על השניונית, ו-3 נוספות. 3 נקודות אלו נחות על ישר, מכיוון שהשניונית בנוסף לישר העובר דרך שתיים מנקודות אלו הוא עקום שלישי ממעלה 3 העובר דרך 8 מהנקודות.
מקרה פרטי של משפט פסקל הוא משפט המשושה של פפוס. במקרה זה, השניונית היא מכפלה של 2 ישרים, שעליהם נחות הנקודות.
דוגמה נוספת לשימוש של קיילי בכראך הוא הוכחה של משפט מיקל: שלושת העקומים הם המכפלה של כל מעגל והישר של הצלע שמול הקודקוד שבו הוא עובר, ו-9 נקודות החיתוך הן 3 הקודקודים, 3 נקודות החיתוך של המעגלים על הצלעות, שתי הנקודות המעגליות באינסוף (אנ') ונקודת החיתוך של שלושת המעגלים.
ספירת ממדים
ניזכר תחילה שבהינתן שני עקומים ממעלה תבנית:Mvar, הם מגדירים עיפרון (מערכת ליניארית בעלת פרמטר אחד) של עקומים ממעלה תבנית:Mvar על ידי לקיחת צירופים ליניאריים פרויקטיבים של המשוואות המגדירות אותם; זה מתאים לשתי נקודות הקובעות ישר פרויקטיבי במרחב הפרמטרים של העקומים, שהוא פשוט מרחב פרויקטיבי.
משפט קיילי-בכראך נוצר במעלה גבוהה בגלל מספר נקודות החיתוך של שני עקומים ממעלה תבנית:Mvar, כלומר תבנית:נוסחה (לפי משפט בזו), גדל מהר יותר ממספר הנקודות הדרושות כדי להגדיר עקום ממעלה תבנית:Mvar, הניתן על ידי
אלה שווים בפעם הראשונה עבור תבנית:נוסחה, וזו הסיבה שמשפט קיילי-בכרך מתרחש עבור עקומים ממעלה 3, ועבור דרגה גבוהה יותר תבנית:נוסחה גדול יותר, ומכאן ההכללות בדרגה גבוהה יותר.
בפרט, מספר הנקודות הנדרשות לקביעת עקום ממעלה תבנית:Mvar הוא מספר המונומים ממעלה תבנית:Mvar, פחות 1 מהפרויקטיביזציה. עבור ערכי ה-תבנית:Mvar הראשונים נקבל:
- תבנית:נוסחה : 2 ו-1: שתי נקודות קובעות ישר, שני ישרים נחתכים בנקודה
- תבנית:נוסחה : 5 ו-4: חמש נקודות קובעות שניונית, שתי שניוניות נחתכות בארבע נקודות
- תבנית:נוסחה : 9 ו-9: תשע נקודות קובעות עקום ממעלה שלישית, שני עקומים ממעלה שלישית נחתכים בתשע נקודות
- תבנית:נוסחה 14 ו-16
קישורים חיצוניים
- Michel Chasles, Traité des sections coniques, Gauthier-Villars, Paris, 1885.
- תבנית:Citation
- תבנית:Citation
- Edward D. Davis, Anthony V. Geramita, and Ferruccio Orecchia, Gorenstein algebras and Cayley–Bacharach theorem, Proceedings of the American Mathematical Society 93 (1985), 593–597.
- David Eisenbud, Mark Green, and Joe Harris, Cayley–Bacharach theorems and conjectures, Bulletin of the American Mathematical Society 33 (1996), no. 3, 295—324. תבנית:Mr
- תבנית:Cite arXiv
- תבנית:MathWorld