נוסחת שרמן-מוריסון

באלגברה ליניארית, הנוסחה של שרמן-מוריסון נקראת על שם ג'ק שרמן וויניפרד ג'יי מוריסון. הנוסחה מחשבת היפוך מטריצה "בעדכון מדרגה 1" למטריצה שההיפוך שלה חושב בעבר. כלומר, בהינתן מטריצה הפיכה $A$ והמכפלה החיצונית $u{v}^{\mathsf{\text{T}}}$ של וקטורים $u$ ו $v,$ הנוסחה מחשבת $(A+u{v}^{\mathsf{\text{T}}}){\phantom{)}}^{-1}.$.

הנוסחה של שרמן-מוריסון היא מקרה מיוחד של הנוסחה של וודברי .

הנוסחה

נניח מטריצה ריבועית הפיכה $A\in {ℝ}^{n\times n}$ ו- $u,v\in {ℝ}^n$ הם וקטורי עמודות . אז מטריצה $A+u{v}^{\mathsf{\text{T}}}$ הפיכה אם ורק אם $1+v^{\mathsf{\text{T}}}{A}^{-1}u\ne 0$ . במקרה זה,

${(A+u{v}^{\mathsf{\text{T}}})}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}u{v}^{\mathsf{\text{T}}}{A}^{-1}}{1+v^{\mathsf{\text{T}}}{A}^{-1}u}.$

כאשר, $u{v}^{\mathsf{\text{T}}}$ הוא המכפלה החיצונית של שני וקטורי עמודה $u$ ו $v$ .

ראו גם

• זהות מטריצת וודברי
• משפט הפוך בינומי

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld