1089 (מספר)

תבנית:מספר שלם1089 (נכתב גם 1,089; במילים: אלף שמונים ותשע) הוא מספר טבעי, עוקב ל-1088 וקודם ל-1090.

תכונות

1089 הוא הריבוע של 33, כלומר $33\times 33=1089$.

הכפלה של המספר 1089 בשני מספרים שלמים חיוביים שסכומם הוא 10 נותן שתי תוצאות שמתקבלות מהיפוך סדר הספרות זו של זו:

1 × 1089 = 1089 ↔ 9 × 1089 = 9801

2 × 1089 = 2178 ↔ 8 × 1089 = 8712

3 × 1089 = 3267 ↔ 7 × 1089 = 7623

4 × 1089 = 4356 ↔ 6 × 1089 = 6534

5 × 1089 = 5445 ↔ 5 × 1089 = 5445

למספר 1089 יש תכונה מעניינת נוספת והיא שהכפלת המספר במספרים השלמים מ-1 ועד ל-9 מייצרת תבנית שבה כל טור ספרות במכפלה עולה או יורד בקפיצות של 1 בין תוצאה לתוצאה. לדוגמה, ספרת המאות של המכפלות לפי הסדר יוצרת את הספרות 0 עד 8.

$1089\times 1=1089$

$1089\times 2=2178$

$1089\times 3=3267$

$1089\times 4=4356$

$1089\times 5=5445$

$1089\times 6=6534$

$1089\times 7=7623$

$1089\times 8=8712$

$1089\times 9=9801$

האלגוריתם הקבוע

למספר 1089 יש תכונה מעניינת - הוא תמיד יתקבל בתור התוצאה של סדרת הפעולות הבאה:

1. בחרו מספר תלת-ספרתי כלשהו שספרת המאות וספרת האחדות בו שונות.
2. הפכו את סדר ספרותיו וחסרו את המספר הקטן יותר מבין השניים, מהמספר הגדול יותר מביניהם.
3. הפכו את סדר ספרותיה של התוצאה וחברו את המספר המתקבל עם התוצאה עצמה.

לדוגמה, אם ניקח את המספר $537$ ונהפוך את סדר ספרותיו נקבל $735$. נחסר את המספר הקטן יותר מהגדול יותר: $735-537=198$. כעת נהפוך את סדר ספרותיה של התוצאה ונקבל $891$. נחבר את התוצאה עם היפוך הספרות של התוצאה: $198+891=1089$. התוצאה המתקבלת היא אכן 1089, כפי שציפינו לקבל.תבנית:הערה

בחישוב זה מתייחסים גם למספרים דו-ספרתיים או חד-ספרתיים כאל תלת-ספרתיים, על ידי הוספת אפסים מובילים אליהם. כלומר המספר 99 ייחשב 099, ולכן לאחר שהופכים את ספרותיו מקבלים 990.

הוכחה

אם $abc$ הוא המספר שלנו, כאשר כל אות מייצגת את אחת מספרותיו, אז ערכו הוא $100\cdot a+10\cdot b+c$ וערכו של המספר ה"הפוך" $cba$ הוא $100\cdot c+10\cdot b+a$. מכאן שאחרי שמחסרים את הקטן מהגדול (נניח כי הגדול הוא $abc$; אותו טיעון תקף גם במקרה ההפוך) מתקבל $99a-99c=99(a-c)$. אם המספר המקורי לא היה פלינדרום הרי ש-$a\ne c$, ולכן תוצאת החיסור היא כפולה של 99.

ניתן לראות (למשל, על ידי בדיקה ישירה) כי כל כפולה של 99 בת 3 ספרות מקיימת את התכונה שהספרה האמצעית שלה היא 9 וסכום שתי הספרות האחרות גם הוא 9 (למשל - 99 כפול 3 הוא 297 המקיים את התכונה; וגם על 99 ניתן לחשוב כעל המספר "התלת ספרתי" 099 המקיים את התכונה. הסיבה לכך היא כי $90+9=99$ ולכן כל כפולה שלו במספר קבוע נותנת $90a+9a$. על פי החוק שכל מספר חד-ספרתי המוכפל ב9 נותן מספר שסכום ספרותיו הוא 9, נקבל$90a+9a=100c+10d+10c+d(c+d=9)\Rightarrow 99a=100c+90+d$).

אם כך, תוצאת החיסור היא $x9y$ עם $x+y=9$. לאחר שמחברים את $x9y$ עם $y9x$ מקבלים $101\cdot (x+y)+2\cdot 90=101\cdot 9+180=909+180=1089$.

ראו גם

• 1729 (מספר)