איזוקליניות

בתורת החבורות, איזוקליניוּת היא יחס שקילות בין חבורות, המתייחס עבור חבורה $G$ למבנה המשותף של המנה $G/\mathrm{Z}(G)$ ותת-חבורת הקומוטטורים $G^{\prime }=[G,G]$. היחס מאפשר מיון של מחלקות במקום שמיון שלם של חבורות, עד כדי איזומורפיזם, אינו אפשרי או אינו רצוי. כל החבורות האבליות איזוקליניות זו לזו. את היחס הגדיר פיליפ הול ב-1939.

הגדרה

ההגדרה מבוססת על-כך שפעולת הקומוטטור $G/\mathrm{Z}(G)\times G/\mathrm{Z}(G)\to [G,G]$ מוגדרת היטב.

חבורות $G,H$ הן איזוקליניוֹת אם יש איזומורפיזמים $\alpha :G/\mathrm{Z}(G)\to H/\mathrm{Z}(H)$ ו-$\beta :[G,G]\to [H,H]$, המקיימים $\beta ([\overline{x},\overline{y}])=[\alpha (\overline{x}),\alpha (\overline{y})]$ (כאשר $\overline{x},\overline{y}$ הם הנציגים של $x,y$ בחבורות המנה).

חבורה $G$ היא איזוקלינית לחבורה סופית אם ורק אם $G/\mathrm{Z}(G)$ סופית.

אינווריאנטים

נסמן ב-${\gamma }_i(G),{\zeta }_i(G)$ את החבורות בסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה של חבורה $G$, בהתאמה. המנות ${\gamma }_i(G)\mathrm{Z}(G)/\mathrm{Z}(G)$ והחיתוכים $G^{\prime }\cap {\zeta }_i(G)$ אינם תלויים ב-$G$, אלא עד כדי איזוקליניות.

איזוקליניות לתת-חבורות ולחבורות מנה

חבורה $G$ היא איזוקלינית לתת-החבורה $H$ אם $G=H\cdot \mathrm{Z}(G)$ (אם $G/\mathrm{Z}(G)$ סופית, גם ההפך נכון). כאשר $G$ סופית, $G$ איזוקלינית לתת-החבורה $H$ אם ורק אם $G/\mathrm{Z}(G)\cong H/\mathrm{Z}(H)$.

חבורה $G$ היא איזוקלינית לחבורת המנה $G/N$ אם $N\cap G^{\prime }=1$ (אם $G^{\prime }$ סופית, גם ההפך נכון). כאשר $G$ סופית, היא איזוקלינית לחבורת המנה $G/N$ אם ורק אם $\mathrm{Z}(G)\cong \mathrm{Z}(G/N)$.

לכל שתי חבורות איזוקליניות $G,H$ יש כיסוי משותף ומעטפת משותפת, במובן הבא. יש חבורה $M$, איזוקלינית ל-$G,H$, כך ש-$G,H$ מנות של $M$; ויש חבורה $N$, איזוקלינית ל-$G,H$, כך ש-$G,H$ תת-חבורות של $N$. אם $G,H$ סופיות, יש כיסוי משותף סופי ומעטפת משותפת סופית.

נציגים מינימליים

בכל מחלקת איזוקליניות יש חבורה $T$ המקיימת $T^{\prime }\subseteq \mathrm{Z}(T)$ (חבורה כזו נקראת חבורת גזע). יתרה מזו, אם $G$ נוצרת סופית ו-$G^{\prime }$ סופית, אז $G$ איזוקלינית לחבורת גזע סופית, ובמקרה זה חבורה איזוקלינית ל-$G$ היא בעלת סדר מינימלי (במחלקת האיזוקליניות) אם ורק אם היא חבורת גזע.

נאמר שחבורה $G$ היא "מינימלית לתת-חבורות" אם אין לה תת-חבורה $H$ כך ש-$G=H\cdot \mathrm{Z}(G)$ (אחרת, כפי שצוין לעיל, $G$ איזוקלינית לתת-החבורה הזו). כל חבורה מינימלית לתת-חבורות מקיימת $\mathrm{Z}(G)\subseteq \mathrm{\Phi }(G)$, כאשר $\mathrm{\Phi }(G)$ היא תת-חבורת פרטיני; ההפך נכון אם $\mathrm{Z}(G)/(\mathrm{Z}(G)\cap G^{\prime })$ נוצרת סופית.

נאמר שחבורה $G$ היא "מינימלית למנות" אם אין לה תת-חבורה נורמלית $N$ כך ש-$N\cap G^{\prime }=1$ (אחרת, כפי שצוין לעיל, $G$ איזוקלינית לחבורת המנה $G/N$). חבורה $G$ היא מינימלית למנות, אם ורק אם כל תת-חבורה נורמלית מינימלית שלה מוכלת ב-$G^{\prime }$, ו-$\mathrm{Z}(G)/(\mathrm{Z}(G)\cap G^{\prime })$ חבורה מפותלת.

לקריאה נוספת

• On the Structure of n-Isoclinism classes of Groups, H.S. Hekster, J Pure and Applied Algebra 40 (1986), 63--85.