דל במערכות צירים שונות

באנליזה וקטורית ניתן לכתוב אופרטורים שונים, הקשורים לאופרטור דל (המסומל באמצעות הסימן נבלה), בדרכים שונות במערכות צירים שונות.

הערה: הנוסחאות שבדף זה כתובות לפי הכתיב הפיזיקלי המקובל. בקואורדינטות כדוריות, $θ$ היא הזווית בין ציר z ווקטור הרדיוס המחבר את הראשית עם הנקודה בה עוסקים. $ϕ$ היא הזווית בין היטל וקטור הרדיוס על מישור x-y, ובין ציר x.

	קואורדינטות קרטזיות (x,y,z)	קואורדינטות גליליות (ρ,φ,z)	קואורדינטות כדוריות (r,θ,φ)	קואורדינטות גליליות פרבוליות (σ,τ,z)
הגדרתתבנית:שמערכת תבנית:שהצירים	$\begin{matrix} ρ & = & \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ ϕ & = & \arctan (y / x) \\ z & = & z \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & ρ \cos ϕ \\ y & = & ρ \sin ϕ \\ z & = & z \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & r \sin θ \cos ϕ \\ y & = & r \sin θ \sin ϕ \\ z & = & r \cos θ \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & σ τ \\ y & = & \frac{1}{2} (τ^{2} - σ^{2}) \\ z & = & z \end{matrix}$
הגדרתתבנית:שמערכת תבנית:שהצירים	$\begin{matrix} r & = & \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ θ & = & \arctan (\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{z}) \\ ϕ & = & \arctan (y / x) \end{matrix}$	$\begin{matrix} ρ & = & r \sin (θ) \\ ϕ & = & ϕ \\ z & = & r \cos (θ) \end{matrix}$	$\begin{matrix} r & = & \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ θ & = & \arctan (\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{z}) \\ ϕ & = & \arctan (y / x) \end{matrix}$	$\begin{matrix} ρ & = & \frac{σ^{2} + τ^{2}}{2} \\ ϕ & = & \arctan (\frac{τ^{2} - σ^{2}}{2 σ τ}) \\ z & = & z \end{matrix}$
הגדרתתבנית:שוקטורי תבנית:שהיחידה	$\begin{matrix} \hat{ρ} & = & \frac{x}{ρ} \hat{𝐱} + \frac{y}{ρ} \hat{𝐲} \\ \hat{ϕ} & = & - \frac{y}{ρ} \hat{𝐱} + \frac{x}{ρ} \hat{𝐲} \\ \hat{𝐳} & = & \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐱} & = & \cos ϕ \hat{ρ} - \sin ϕ \hat{ϕ} \\ \hat{𝐲} & = & \sin ϕ \hat{ρ} + \cos ϕ \hat{ϕ} \\ \hat{𝐳} & = & \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐱} & = & \sin θ \cos ϕ \hat{𝒓} + \cos θ \cos ϕ \hat{θ} - \sin ϕ \hat{ϕ} \\ \hat{𝐲} & = & \sin θ \sin ϕ \hat{𝒓} + \cos θ \sin ϕ \hat{θ} + \cos ϕ \hat{ϕ} \\ \hat{𝐳} & = & \cos θ \hat{𝒓} - \sin θ \hat{θ} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{σ} & = & \frac{τ}{\sqrt{τ^{2} + σ^{2}}} \hat{𝐱} - \frac{σ}{\sqrt{τ^{2} + σ^{2}}} \hat{𝐲} \\ \hat{τ} & = & \frac{σ}{\sqrt{τ^{2} + σ^{2}}} \hat{𝐱} + \frac{τ}{\sqrt{τ^{2} + σ^{2}}} \hat{𝐲} \\ \hat{𝐳} & = & \hat{𝐳} \end{matrix}$
הגדרתתבנית:שוקטורי תבנית:שהיחידה	$\begin{matrix} \hat{𝐫} & = & \frac{x \hat{𝐱} + y \hat{𝐲} + z \hat{𝐳}}{r} \\ \hat{θ} & = & \frac{x z \hat{𝐱} + y z \hat{𝐲} - ρ^{2} \hat{𝐳}}{r ρ} \\ \hat{ϕ} & = & \frac{- y \hat{𝐱} + x \hat{𝐲}}{ρ} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{ρ} & = & \sin θ \hat{𝐫} + \cos θ \hat{θ} \\ \hat{ϕ} & = & \hat{ϕ} \\ \hat{𝐳} & = & \cos θ \hat{𝐫} - \sin θ \hat{θ} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐫} & = & \frac{ρ}{r} \hat{ρ} + \frac{z}{r} \hat{𝐳} \\ \hat{θ} & = & \frac{z}{r} \hat{ρ} - \frac{ρ}{r} \hat{𝐳} \\ \hat{ϕ} & = & \hat{ϕ} \end{matrix}$
שדה וקטורי $𝐀$	$A_{x} \hat{𝐱} + A_{y} \hat{𝐲} + A_{z} \hat{𝐳}$	$A_{ρ} \hat{ρ} + A_{ϕ} \hat{ϕ} + A_{z} \hat{𝒛}$	$A_{r} \hat{𝒓} + A_{θ} \hat{θ} + A_{ϕ} \hat{ϕ}$	$A_{σ} \hat{σ} + A_{τ} \hat{τ} + A_{ϕ} \hat{𝒛}$
גרדיאנט $\nabla f$	$\frac{\partial f}{\partial x} \hat{𝐱} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{𝐲} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{𝐳}$	$\frac{\partial f}{\partial ρ} \hat{ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial f}{\partial ϕ} \hat{ϕ} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{𝒛}$	$\frac{\partial f}{\partial r} \hat{𝒓} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} \hat{θ} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial f}{\partial ϕ} \hat{ϕ}$	$\frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} \frac{\partial f}{\partial σ} \hat{σ} + \frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} \frac{\partial f}{\partial τ} \hat{τ} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{𝒛}$
דיברגנץ $\nabla \cdot 𝐀$	$\frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$	$\frac{1}{ρ} \frac{\partial (ρ A_{ρ})}{\partial ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$	$\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial (r^{2} A_{r})}{\partial r} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (A_{θ} \sin θ) + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}$	$\frac{1}{σ^{2} + τ^{2}} \frac{\partial A_{σ}}{\partial σ} + \frac{1}{σ^{2} + τ^{2}} \frac{\partial A_{τ}}{\partial τ} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$
קרל (רוטור) $\nabla \times 𝐀$	$\begin{matrix} (\frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z}) \hat{𝐱} & + \\ (\frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x}) \hat{𝐲} & + \\ (\frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}) \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\frac{1}{ρ} \frac{\partial A_{z}}{\partial ϕ} - \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial z}) \hat{ρ} & + \\ (\frac{\partial A_{ρ}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial ρ}) \hat{ϕ} & + \\ \frac{1}{ρ} (\frac{\partial (ρ A_{ϕ})}{\partial ρ} - \frac{\partial A_{ρ}}{\partial ϕ}) \hat{𝒛} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{1}{r \sin θ} (\frac{\partial}{\partial θ} (A_{ϕ} \sin θ) - \frac{\partial A_{θ}}{\partial ϕ}) \hat{𝒓} & + \\ \frac{1}{r} (\frac{1}{\sin θ} \frac{\partial A_{r}}{\partial ϕ} - \frac{\partial}{\partial r} (r A_{ϕ})) \hat{θ} & + \\ \frac{1}{r} (\frac{\partial}{\partial r} (r A_{θ}) - \frac{\partial A_{r}}{\partial θ}) \hat{ϕ} \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} \frac{\partial A_{z}}{\partial τ} - \frac{\partial A_{τ}}{\partial z}) \hat{σ} & - \\ (\frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} \frac{\partial A_{z}}{\partial σ} - \frac{\partial A_{σ}}{\partial z}) \hat{τ} & + \\ \frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} (\frac{\partial (ρ A_{ϕ})}{\partial ρ} - \frac{\partial A_{ρ}}{\partial ϕ}) \hat{𝒛} \end{matrix}$
לפלסיאן $Δ f = \nabla^{2} f$	$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$	$\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$	$\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}}$	$\frac{1}{σ^{2} + τ^{2}} (\frac{\partial^{2} f}{\partial σ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial τ^{2}}) + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$
לפלסיאן וקטורי $Δ 𝐀 = \nabla^{2} 𝐀$	$Δ A_{x} \hat{𝐱} + Δ A_{y} \hat{𝐲} + Δ A_{z} \hat{𝐳}$	$\begin{matrix} (Δ A_{ρ} - \frac{A_{ρ}}{ρ^{2}} - \frac{2}{ρ^{2}} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}) \hat{ρ} & + \\ (Δ A_{ϕ} - \frac{A_{ϕ}}{ρ^{2}} + \frac{2}{ρ^{2}} \frac{\partial A_{ρ}}{\partial ϕ}) \hat{ϕ} & + \\ (Δ A_{z}) \hat{𝒛} \end{matrix}$	$\begin{matrix} (Δ A_{r} - \frac{2 A_{r}}{r^{2}} - \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial (A_{θ} \sin θ)}{\partial θ} - \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}) \hat{𝒓} & + \\ (Δ A_{θ} - \frac{A_{θ}}{r^{2} \sin^{2} θ} + \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial A_{r}}{\partial θ} - \frac{2 \cos θ}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}) \hat{θ} & + \\ (Δ A_{ϕ} - \frac{A_{ϕ}}{r^{2} \sin^{2} θ} + \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial A_{r}}{\partial ϕ} + \frac{2 \cos θ}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial A_{θ}}{\partial ϕ}) \hat{ϕ} \end{matrix}$
העתק אינפיניטסימלי	$d 𝐥 = d x \hat{𝐱} + d y \hat{𝐲} + d z \hat{𝐳}$	$d 𝐥 = d ρ \hat{ρ} + ρ d ϕ \hat{ϕ} + d z \hat{𝒛}$	$d 𝐥 = d r \hat{𝐫} + r d θ \hat{θ} + r \sin θ d ϕ \hat{ϕ}$	$d 𝐥 = \sqrt{σ^{2} + τ^{2}} d σ \hat{σ} + \sqrt{σ^{2} + τ^{2}} d τ \hat{τ} + d z \hat{𝒛}$
וקטור שטח אינפיניטסימלי	$\begin{matrix} d 𝐒 = & d y d z \hat{𝐱} + \\ d x d z \hat{𝐲} + \\ d x d y \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} d 𝐒 = & ρ d ϕ d z \hat{ρ} + \\ d ρ d z \hat{ϕ} + \\ ρ d ρ d ϕ \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} d 𝐒 = & r^{2} \sin θ d θ d ϕ \hat{𝐫} + \\ r \sin θ d r d ϕ \hat{θ} + \\ r d r d θ \hat{ϕ} \end{matrix}$	$\begin{matrix} d 𝐒 = & \sqrt{σ^{2} + τ^{2}}, d τ d z \hat{σ} + \\ \sqrt{σ^{2} + τ^{2}} d σ d z \hat{τ} + \\ σ^{2} + τ^{2} d σ, d τ \hat{𝐳} \end{matrix}$
יחידת נפח אינפיניטסימלית	$d V = d x d y d z$	$d V = ρ d ρ d ϕ d z$	$d V = r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ$	$d V = (σ^{2} + τ^{2}) d σ d τ d z,$
כללים חשובים: $d i v g r a d f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^{2} f = Δ f$ (לפלסיאן) $c u r l g r a d f = \nabla \times (\nabla f) = 𝟎$ $d i v c u r l 𝐀 = \nabla \cdot (\nabla \times 𝐀) = 0$ $c u r l c u r l 𝐀 = \nabla \times (\nabla \times 𝐀) = \nabla (\nabla \cdot 𝐀) - \nabla^{2} 𝐀$ $Δ f g = f Δ g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g Δ f$

דל במערכות צירים שונות

תפריט ניווט

חיפוש