הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם הן בעיות בנייה שנוסחו על ידי היוונים הקדמונים, והעסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים. הבעיות הן:

• הכפלת הקובייה: בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה
• תרבוע העיגול: בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון
• שילוש זווית: חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים
• בניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות

את כל הבניות יש לבצע במסגרת כללי המשחק של הגאומטריה, כלומר באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד (הסרגל ללא שנתות ואינו יכול למדוד אורך).

רק בתבנית:ה הושם קץ לניסיונות לפתור בעיות בנייה אלה, כאשר הוכח בעזרת תורת גלואה שהן לא פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.

כמוצא זמני מחוסר היכולת לפתור בעיות אלה בכלים המצומצמים של הבנייה הגאומטרית (סרגל ומחוגה), המציאו היוונים כלים משוכללים המאפשרים את ביצוע הבנייה הנדרשת.

בעיה נודעת נוספת, בעלת אופי שונה והשפעה מרחיקת לכת על הגאומטריה העתיקה והמודרנית, היא הבעיה של הוכחת אקסיומת המקבילים, האקסיומה החמישית של אוקלידס, מתוך האקסיומות האחרות.

הכפלת נפחה של קובייה

הכפלת הקובייה

על פי האגדה, בשנת 430 לפנה"ס השתוללה באתונה מגפת דבר קשה. כאשר נשאל האורקל שבמקדש אפולו שבעיר דלפי כיצד לעצור את המגפה, ענה: הכפילו את נפח המזבח לאפולו. מזבח זה היה בצורת קובייה. האתונאים בנו מזבח חדש שאורך צלעו כפול מזה של המזבח הקיים. משלא נפסקה המגפה הבינו האתונאים את טעותם: נפח המזבח החדש היה גדול פי שמונה (שתיים בחזקת שלוש) מנפח המזבח המקורי. כך נולדה הבעיה הראשונה: כיצד לבנות קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה. ליתר דיוק: כאשר נתונה צלע של קובייה, לבנות צלע של קובייה שנפחה כפול.

היפוקרטס מכיוס ניסח מחדש את הבעיה, כך שנדרשת מציאת שני ממוצעים גאומטריים עוקבים המשתלבים בין קטע נתון ובין קטע כפול באורכו. הוא ומנכמוס הראו שאפשר לפתור בעיה זו על ידי חיתוך פרבולה והיפרבולה, או שתי פרבולות כמו $2y=x^2,x=y^2$.

בתבנית:ה הראה דיוקלס כיצד להכפיל את הקוביה באמצעות הציסואידה. ניוטון השתמש לצורך כך בעקום החלזון של פסקל, ה-limacon.

הכפלת הקוביה דורשת בנייה של קטע שאורכו $\sqrt[3]{2}$, וכיום ידוע שמספר זה אינו ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה. לכן לא ניתן להכפיל את הקובייה בעזרת סרגל ומחוגה בלבד.

תרבוע העיגול

תבנית:ערך מורחב בעיית תַּרְבּוּעַ העיגול (או ריבוע העיגול) דורשת לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון. לבעיה זו הוצעו כל כך הרבה פתרונות שגויים, עד שבשנת 1775 החליטה האקדמיה הצרפתית למדעים שלא לבדוק יותר פתרונות לבעיה זו.

שטחו של מעגל שווה ל-$\pi R^2$, כלומר רדיוסו בחזקה שנייה כפול פאי, ושטחו של ריבוע הוא $x^2$, כלומר צלעו בחזקה שנייה. מכך מתקבל שעלינו לבנות קטע שאורכו הוא הרדיוס כפול שורש פאי. מתכונותיו של שדה המספרים הניתנים לבנייה נגזר שאם ניתן לבנות קטע באורך $\pi$ ניתן גם לבנות קטע באורך $\sqrt{\pi }$, ולהפך.

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן שקובע שעבור כל $\alpha$ אלגברי שאינו 0, $e^{\alpha }$ הוא מספר טרנסצנדנטי. מכאן ניתן להוכיח בשלילה שפאי טרנסצנדנטי. נניח שפאי הוא מספר אלגברי. מכיוון ש-$i$ (השורש הריבועי של 1-) אלגברי, גם המכפלה של $i$ ופאי אלגברית. זהות אוילר קובעת כי :$e^{\pi i}=-1$ , ולכן 1- הוא טרנצנדנטי, מה שבבירור לא נכון. מכאן נובע כי $\pi$ הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שבבנייה באמצעות סרגל ומחוגה בלבד לא ניתן לבנות יחס טרנסצנדנטי.

חלוקה לשלוש (טריסקציה) של זווית

שילוש זווית באמצעות רצועה (סרגל כפול – סרגל שיש לו שני צדדים ישרים מקבילים במרחק ידוע).תבנית:שנתונה הזווית AOB (באיור: בכחול), כאשר O מרכזו של מעגל, שעליו מונחות הנקודות A ו-B. ממשיכים את הקטע (הישר) AO עד לחיתוך עם המעגל בנקודה D, ומעבירים דרך D מקביל ל-OB, החותך את המעגל בנקודה E. באמצעות הרצועה, מאתרים על המשך הישר OB נקודה X מחוץ למעגל, כך שהמרחק ממנה לנקודת החיתוך Y של המעגל עם DX שווה לרדיוס המעגל (זו פעולה שלא ניתן לבצע בסרגל ומחוגה). הזווית EDX (באיור: באדום) שווה לשליש הזווית AOB.

בעיה זו דורשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים. מתברר שאפילו את הזווית של 60° לא ניתן לחלק לשלושה, כלומר, לא ניתן לבנות בסרגל ובמחוגה זווית בת 20°. הראשון שהוכיח תוצאה זו היה פייר לורן ונצל (1814–1869), ב-1837.תבנית:הערה

עם זאת, תחת ההיתר לסמן על הסרגל סימן אחד, הבעיה פתירהתבנית:הערה.

בניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות

משובע משוכלל

ראו בנייה בסרגל ובמחוגה לדיון כללי בבנייה של מצולעים משוכללים.

ראו גם

• בעיית תרבוע העיגול של טרסקי

קישורים חיצוניים

• מוטי בן ארי, איך לרבע את המעגל (בערך), 2017