החלפה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, תכונת ההחלפה היא תכונה של מודולים, הנלמדת בקשר לפירוק לסכום ישר (כגון במשפט קרול-שמידט) והרמה של אידמפונטים.

הגדרה

למודול $A$ יש תכונת ההחלפה הסופית אם בכל מקרה בו $A$ הוא מחובר ישר בסכום ישר $M=M_1\oplus M_2$, יש פירוק $M=A\oplus ({M_1}^{\prime }\oplus {M_2}^{\prime })$ שבו ${M_1}^{\prime }\subset M_1,M_2,\subset M_2$ (נובע מכאן שכל ${M_i}^{\prime }$ הוא מחובר ישר של $M_i$).

באופן כללי יותר, עבור מונה $\alpha$, למודול $A$ יש תכונת ההחלפה ה-$\alpha$ אם בכל מקרה בו $A$ הוא מחובר ישר בסכום ישר $M=\underset{i\in \alpha }{⨁}{M}_i$, יש פירוק $M=A\oplus \underset{i\in \alpha }{⨁}{M_i}^{\prime }$ שבו ${M_i}^{\prime }\subset M_i$ לכל $i$ (וגם כאן נובע שכל ${M_i}^{\prime }$ הוא מחובר ישר של $M_i$). התכונה נעשית חזקה יותר ככל שהמונה $\alpha$ גדול יותר. אם $A$ מקיים את התנאי לכל $\alpha$, אומרים שיש לו תכונת ההחלפה (הכללית). כל תכונות ההחלפה הסופיות (ל-$2\le \alpha <\mathrm{\infty }$) שקולות זו לזו.

תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההחלפה הכללית אם המודול נוצר סופית, או אם הוא סכום ישר של מודולים אי-פרידים; במקרה הכללי זוהי בעיה פתוחה. מודול פרויקטיבי עם תכונת ההחלפה הבת-מניה מקיים את תכונת ההחלפה הכללית.

לכל מודול איג'קטיבי יש תכונת ההחלפה.

תכונת ההחלפה וסכומים ישרים

תכונת ההחלפה ה-$\alpha$ עוברת ממודול למחובר ישר שלו, ואם היא נכונה לשני מודולים היא נכונה גם לסכום הישר שלהם.

יהי $A$ מודול אי-פריד (כזה שאינו סכום ישר). אז הוא מקיים את תכונת ההחלפה, אם ורק אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה הסופית, אם ורק אם הוא "אי-פריד בחזקה" (כלומר, חוג האנדומורפיזמים שלו הוא מקומי). בפרט, אם המודול אי-פריד, תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההצבה (שהיא גרסה חזקה של תכונת הצמצום).

תכונת ההחלפה של חוגים

אומרים שלחוג $R$ יש תכונת ההחלפה, אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה כמודול מעל עצמו. למודול $M$ מעל $R$ יש תכונת ההחלפה הסופית אם ורק אם לחוג האנדומורפיזמים $\mathrm{End}({}_{R}M)$ יש תכונת ההחלפה. חוג $R$ מקיים את תכונת ההחלפה אם ורק אם אפשר להרים בו אידמפוטנטים מודולו כל אידיאל שמאלי או ימני, אם ורק אם אפשר להרים אידמפוטנטים מודולו רדיקל ג'ייקובסון $\mathrm{Jac}(R)$ והחוג $R/\mathrm{Jac}(R)$ מקיים את תכונת ההחלפה תבנית:הערה.

מקורות

• A. A. Tuganbaev, Rings and modules with exchange properties, J. Math. Sci. 110(1) (2002), 2348–2421.