הלמה של גרנוול

במתמטיקה, הלמה של גרנוול (על שמו של המתמטיקאי השוודי תומאס ה. גרנוול - Grönwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.

ניסוח הלמה

תהי $f(x)\ge 0$ פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע $A$ ועבור $x>x_0$ את האי-שוויון הבא: $$f(x)\le A{\int }_{x_0}^{x}f(t)dt$$אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - $f(x)\equiv 0$.

הוכחה

ברור שמתקיים $A\ge 0$ כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

$f(x)-A{\int }_{x_0}^{x}f(t)dt\le 0$

זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

• $g(x)={\int }_{x_0}^{x}f(t)dt$
• $g^{\prime }(x)=f(x)$ (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)

על ידי כפל בגורם אינטגרציה $e^{-Ax}$ תתקבל המד"ר הבאה:

$e^{-Ax}{g}^{\prime }(x)-A\cdot g(x)e^{-Ax}=(e^{-Ax}g(x){)}^{\prime }\le 0$

על ידי ביצוע אינטגרציה ${\int }_{x_0}^{x}dt$ על שני צידי האי שוויון נקבל:

$e^{-Ax}g(x)=e^{-Ax}{\int }_{x_0}^{x}f(t)dt\le 0$

פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ($e^{h(x)}\ge 0$ לכל $h(x)$) ולכן המסקנה היא:

${\int }_{x_0}^{x}f(t)dt\le 0$

ולפי ההנחה מתקיים: $f(x)\le A{\int }_{x_0}^{x}f(t)dt\le 0$

אבל ההנחה היא גם כי $f(x)\ge 0$ ולכן בהכרח $f(x)=0$.