זהות קאסיני

במתמטיקה, זהות קאסיני היא הזהות:

F_{n + 1} \cdot F_{n - 1} - F_{n}^{2} = (- 1)^{n}

כאשר $F_{k}$ הוא האיבר ה-k בסדרת פיבונאצ'י.

לדוגמה 5, 8, 13 הם איברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:

13 \cdot 5 - 8^{2} = 65 - 64 = 1

הזהות נקראת על שם ג'ובאני דומניקו קאסיני שגילה אותה ב-1680.

הוכחה

ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי דטרמיננטות:

קל להוכיח באינדוקציה שמתקיים:

[\begin{matrix} F_{n + 1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n - 1} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]}^{n}

ולכן:

F_{n - 1} F_{n + 1} - F_{n}^{2} = det [\begin{matrix} F_{n + 1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n - 1} \end{matrix}] = det {[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]}^{n} = {(det [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}])}^{n} = (- 1)^{n}

אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1879 את זהות קטלן:

F_{n}^{2} - F_{n + r} F_{n - r} = (- 1)^{n - r} F_{r}^{2}

זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה $r = 1$ .

סטפן ויידה (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:

F_{n + i} F_{n + j} - F_{n} F_{n + i + j} = (- 1)^{n} F_{i} F_{j}

כאשר מוסכם שלכל n טבעי: $F_{- n} = (- 1)^{n + 1} F_{n}$ (הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).

זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה $i = r, j = - r$ .