טיוטה:קונטרולביליות ואובזרווביליות

בתורת הבקרה, קונטרולביליות ואובזרווביליות (באנגלית: controllability and observability) הם מאפיינים אפשריים של מערכת, ביחס למצבים האפשריים שלה. מערכת היא קונטרולבילית אם מכל מצב $x(0)$ ניתן להגיע בזמן סופי $t$ כלשהו לכל מצב אחר; מערכת היא אובזרוובילית אם בכל רגע $t$ ניתן לשחזר את $x(0)$ (ומכאן גם את המצב לאורך זמן), מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע $t$ – עבור כל צמד של כניסה ויציאה.

הערות: קונטרולביליות אינה תנאי הכרחי להגעה ממצב אחד למצב אחר, אלא שתכונת הקונטרולביליות רק מבטיחה שניתן להגיע מכל מצב לכל מצב. אותו דבר נכון גם לגבי אובזרווביליות: אם מערכת איננה אובזרוובילית אין הדבר אומר שלא ניתן לשחזר אף תנאי התחלה, אלא שתכונת האובזרווביליות מבטיחה שניתן מכל מצב לשחזר את תנאי ההתחלה.

מערכת ליניארית

מבחן קונטרולביליות - מגדירים את מטריצת הקונטרולביליות $S$ של המערכת $\left[\begin{array}{c}BAB...A^{n-1}B\end{array}\right]$.

אם המטריצה $S$ מדרגה מלאה (n) אז המערכת קונטרולבילית.

מבחן אובזרווביליות - מגדירים את מטריצת האובזרווביליות $H$ של המערכת $\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$.

אם המטריצה $H$ מדרגה מלאה (n) אז המערכת אובזרוובילית.

דוגמאות:

נתונה מערכת הבאה $\{\begin{array}{c}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx\end{array},A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]$

מבחן קונטרולביליות:

$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],AB=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right],S=\left[\begin{array}{c}BAB\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 4\end{array}\right]$

ניתן לראות שדרגת המטריצה היא 2, כלומר שמטריצת הקונטרולביליות הינה מדרגה מלאה והמערכת הינה קונטרולבילית.

מבחן אובזרווביליות:

$C=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],H=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 10\end{array}\right]$

ניתן לראות שדרגת המטריצה היא 2, כלומר שמטריצת אובזרווביליות הינה מדרגה מלאה והמערכת הינה אובזרוובילית.

מערכת לא ליניארית

על מנת לבדוק קונטרולביליות ואובזרווביליות של מערכת לא-ליניארית דרוש להשתמש בסוגרי לִי (Lie brackets) ובנגזרת לִי (Lie Derivative) שיוגדרו להלן.

הערה: ההגדרה של שתי הפעולות הללו תינתן במתכונת מצומצמת יחסית.

נגזרת לי

נניח שקיימת פונקציה סקאלרית $h:D\subset {ℝ}^n\to ℝ$ ווקטור שדה המוגדר $f:D\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ פעולת ה-Lie Derivative של $h$ ביחס ל-$f$ מביאה לביטוי הבא: $L_{f}h(x)=\frac{df}{dx}f(x)$. נניח שנתונים לנו שני וקטורי שדות $f,g$ המוגדרים כמקודם אזי:

$\{\begin{array}{c}{L}_{f}h(x)=\frac{df}{dx}f(x)\\ L_{g}h(x)=\frac{dg}{dx}g(x)\end{array}\to L_g{L}_{f}h(x)=L_g[L_{f}h(x)]=\frac{d(L_{f}h)}{dx}f(x)$

דוגמה

נתונות המערכת הבאה:

$h(x)=\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2)$

$f(x)=\left[\begin{array}{c}-x_2\\ -x_1-u(1-x_1^2)x_2\end{array}\right],g(x)=\left[\begin{array}{c}-x_1-x_1{x}_2^2\\ -x_2+x_1^2{x}_2\end{array}\right]$

מתקבל:

• $L_{f}h(x)=\frac{dh}{dx}f(x)=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-x_2\\ -x_1-u(1-x_1^2)x_2\end{array}\right]=-u(1-x_1^2)x_2^2$
• $L_{g}h(x)=\frac{dh}{dx}g(x)=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-x_1-x_1{x}_2^2\\ -x_2-+x_1^2{x}_2\end{array}\right]=-(x_1^2+x_2^2)$
• $L_f{L}_{g}h(x)=\frac{d(L_{g}h)}{dx}f(x)=-2\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-x_2\\ -x_1-u(1-x_1^2)x_2\end{array}\right]=2u(1-x_1^2)x_2^2$

סוגרי לי

נניח שנתונים שני וקטורי שדות $f(x),g(x)$ המוגדרים ב-${ℝ}^n$

פעולת ה-Lie Brackets יוצרת שדה חדש:

$\left[\begin{array}{c}f,g\end{array}\right]\equiv \frac{dg}{dx}f-\frac{df}{dx}g$

כמו כן ניתן להגדיר Lie Brackets מסדרים גבוהים יותר בדרך הבאה:

$\begin{array}{c}(a{d}_f^1)\equiv [f,g]\\ (a{d}_f^2)\equiv [f,[f,g]]\\ ⋮\\ (a{d}_f^k)\equiv [f,(a{d}_f^{k-1},g)]\end{array}$

דוגמה

נתונים שני הווקטורים הבאים:

$f(x)=\left[\begin{array}{c}-x_2\\ -x_1-u(1-x_1^2)x_2\end{array}\right],g(x)=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{g}_1,g_2\end{array}\right]\equiv \frac{dg}{dx}f(x)-\frac{df}{dx}g(x)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-x_2\\ -x_1-u(1-x_1^2)x_2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1+2u{x}_1{x}_2& -u(1-x_1^2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\end{array}$

$=\left[\begin{array}{c}0\\ -2u{x}_1^2{x}_2\end{array}\right]$

קונטרולביליות

ניתן להסתכל על המערכת הלא ליניארית בצורה הבאה:

$\dot{x}=f(x)+\sum _{i=1}^m{g}_i(x)u_i$, כאשר $g_i$ הם שדות וקטורים של הכניסות ו-$f$ נקרא שדה וקטורי של הסחף (drift).

נגדיר את מטריצה $C$ כ:

$C=\left[\begin{array}{c}{g}_1,g_2,...,g_m,[g_i,g_j],...,[a{d}_{gi}^k,g_j],...,[f,g_i],...,[a{d}_f^k,g_i],...\end{array}\right]$

במקרה בו המערכת חסרת סחף (driftless) והדרגה של המטריצה $C$ היא מסדר n ניתן להגדיר את המערכת כקונטרולבילית.

דוגמאות:

דוגמה 1

ניתן לפתח את משוואות התנועה הבאות עבור מודל דו ממדי של חד-אופן (unicycle)תבנית:הערה

$\begin{array}{c}\dot{x}=v_1\cos (\theta )\\ \dot{y}=v_1\sin (\theta )\\ \dot{\theta }=v_2\end{array}$

כאשר $\theta ,y,x$ הינן קוארדינטות המתארות את קונפיגורציית הגוף במישור (מיקום ואורינטציה), ו$v_2,v_1$ הינן המהירות הקווית והסיבובית של המערכת בהתאמה.

כלומר שהמערכת היא :$\dot{x}=f(x)+\sum _{i=1}^m{g}_i(x)u_i=0+\stackrel{g1}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \sin (\theta )\\ 0\end{array}\right]}}\stackrel{u_1}{\overbrace{v_1}}+\stackrel{g_2}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]}}\stackrel{u_2}{\overbrace{v_2}}$

מכאן נובע

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{g}_1,g_2\end{array}\right]\equiv \frac{d{g}_2}{dx}{g}_1-\frac{d{g}_1}{dx}{g}_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -\sin (\theta )\\ 0& 0& cos(\theta )\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\\ \end{array}$

$=\left[\begin{array}{c}{g}_1,g_2\end{array}\right]=\left(\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow C=\left(\begin{array}{ccc}cos(\theta )& 0& -sin(\theta )\\ \sin (\theta )& 0& \cos (\theta )\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow rank(C)=3=n$

אפשר לראות שווקטור השדה שנוצר באמצעות פעולת ה-Lie brackets אינו תלוי בשני ווקטורי הכניסות האחרות והמערכת הינה קונטרולבילית.

דוגמה 2

ניתן לפתח את משוואות התנועה הבאות עבור מודל דו ממדי של של רכב בעל היגוי בציר הקדמי והנעה בציר האחוריתבנית:הערה

$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\theta }\\ \dot{\varphi }\end{array}\right]=\stackrel{g_1}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \sin (\theta )\\ \tan (\varphi )/L\\ 0\end{array}\right]}}{v}_1+\stackrel{g_2}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]}}{v}_2$

כאשר $x,y$ הינן קוארדינטות המיקום של הרכב במישור, $\theta$ הינה זווית האורינטציה של הרכב במישור ו$\varphi$ הינה זווית ההיגוי.

הפרמטר $L$ מתאר את המרחק בין הציר האחורי לקדמי ), ו$v_2,v_1$ הינן מהירות הנסיעה וההיגוי של הרכב בהתאמה.

באותו אופן כמו בדוגמה הקודמת מפתחים את האיברים הבאים:

$\left[\begin{array}{c}{g}_1,g_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1/L{\cos }^2(\varphi )\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{g}_1,[g_1,g_2]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )/L{\cos }^2(\varphi )\\ \cos (\theta )/L{\cos }^2(\varphi )\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\Rightarrow C=\left[\begin{array}{cccc}\cos (\theta )& 0& 0& -\sin (\theta )/L{\cos }^2(\varphi )\\ \sin (\theta )& 0& 0& \cos (\theta )/L{\cos }^2(\varphi )\\ \tan (\varphi )/L& 0& -1/L{\cos }^2(\varphi )& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$

ניתן להראות שדרגת המטריצה הינה 4 פרט למקרים בהם $\varphi =\pm \pi /2$ (גלגל קדמי ניצב לציר התנועה של הרכב), כך שהרכב קונטרולבילי כל עוד זווית ההיגוי שונה מ $\pm \pi /2$. אם משתמשים בעובדה שניתן לשלוט במהלך הנסיעה על זווית ההיגוי $\varphi$ באמצעות כניסת מהירות ההיגוי $v_2$ אזי ניתן להגיד שהמערכת קונטרולבילית.

דוגמה 3

נתונה מערכת המשוואות הכוללת בתוכה את השדה וקטורי של הסחף (drift)

$\begin{array}{c}{\dot{x}}_1=x_2^2\\ {\dot{x}}_2=u\end{array}$

מכאן ש:

$f(x)=\left[\begin{array}{c}{x}_2^2\\ 0\end{array}\right],g(x)=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}f,g\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2x_2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}[f,g],g\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$

$\Rightarrow C=\left[\begin{array}{c}g,[f,g]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -2x_2\\ 1& 0\end{array}\right]$

מן צד אחד אפשר לראות שדרגת המטריצה הינה 2, פרט למקרה בו $x_2=0$ בנוסף לכך בהבדל מן המערכות בדוגמאות הקודמות המערכת כאן הינה בעלת סחף $f(x)\ne 0$ ולכן המערכת אינה קונטרולבילית. ניתן לראות זאת גם באמצעות הביטוי,$x_2^2\ge 0$ שאומר שהערך של הקוארדיננטה $x_1$ רק גדל ומכאן שהמערכת לא באמת קונטרולבילית.