לוקליזציה (תורת החוגים)

מתוך testwiki
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעיתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש R∗ והעתקת חוגים מ-R ל-R∗ כך שכל אחד מאיברי S יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-R∗. יתר על כן, דורשים כי R∗ יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי S−1R, או אם S=R−𝔭, כאשר 𝔭 הוא אידיאל ראשוני, על ידי R𝔭.

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים

יהי R חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה S ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם a,b∈S אז a⋅b∈S, וכמו כן נניח כי 1∈S. על הקבוצה R×S נחשוב כעל קבוצת שברים rs. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי (r1,s1)∼(r2,s2) אם קיים t∈S כך ש t(r1s2−r2s1)=0∈R. אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- r1s2−r2s1=0, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה 01 ואיבר היחידה יהיה 11. (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - 0s,ss, עם s∈S).

על קבוצת המנה R×S/∼ נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

r1s1+r2s2=r1s2+r2s1s1s2r1s1⋅r2s2=r1r2s1s2.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב S−1R מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של S.

ההעתקה ϕ:R→S−1R הנתונה על ידי ϕ(r)=r1 היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג R′ אחר עם מונומורפיזם φ:R→R′ וכך שתמונות איברי S הפיכים ב R′, אז בהכרח קיים מונומורפיזם ψ:S−1R→R′. כך ש- φ=ψ∘ϕ, כאשר ϕ הוגדרה לעיל.

הוכחה: נגדיר ישירות את ψ:S−1R→R′ על פי הכלל: ψ(rs)=φ(r)φ(s)−1. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - ψ∘ϕ(r)=ψ(ϕ(r))=ψ(r1)=φ(r)φ(1)−1=φ(r).

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים S−1R. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים R,S−1R,R′, ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

מבנה כחוג

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם I≤R אידיאל, גם S−1I≤S−1R אידיאל. בכיוון ההפוך, אם J≤S−1R אידיאל, אז J=S−1A עבור A={a∈R:a1∈J}. כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם I≤R אידיאל ו-S∩I≠ϕ, אז S−1I=S−1R (כי יש בו איבר הפיך).

אם R חוג נותרי או ארטיני, כך גם S−1R.

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים J∈Spec⁡(S−1R) אם ורק אם A={a∈R:a1∈J}∈Spec⁡(R). אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את S, נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית {A∈Spec⁡(R):A∩S=ϕ}↔Spec⁡(S−1R).

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג S−1R הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו S=R−𝔭 עם אידיאל ראשוני 𝔭, מתקבל החוג R𝔭=(R−𝔭)−1R. האידיאל המקסימלי הוא 𝔭R𝔭=S−1𝔭.

דוגמאות

  • יהי R תחום שלמות, ותהי S=R−{0}. במקרה זה S−1R הוא שדה השברים של R.
  • אם R תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של R[x] (חוג הפולינומים) מכיל עותק של (R−{0})−1R, ושווה לשדה השברים של ((R−{0})−1R)[x].
  • אם R=ℤ ו-S=ℤ−pℤ כאשר p ראשוני, נקבל כי S−1R={ab:p∤b}, והאידיאל המקסימלי שלו הוא 𝔭R𝔭={ab:p∤b,p∣a}.
  • אם R חוג שלם מעל C (כלומר, כל איבר של R הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-C) אז S−1R שלם מעל S−1C לכל S⊆C כנ"ל.

ראו גם

קישורים חיצוניים

אוחזר מתוך "https://he.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=לוקליזציה_(תורת_החוגים)&oldid=3785"