מספר מעגלי

באופן ויזואלי מתקבלות מכפלותיו של מספר מעגלי על ידי סידור ספרותיו במעגל וסיבוב המעגל

מספר מעגלי (בבסיס נתון) הוא מספר שלם בן n ספרות באותו בסיס, שכל כפולה שלו במספר קטן מ-n מתקבלת על ידי העברת ספרות מראש המספר אל זנבו. למספרים מעגליים קשר לשברים מחזוריים כמוסבר בהמשך הערך.

המספר המעגלי הקטן ביותר (בבסיס B=10) הוא 142857; אכן, הכפולות של המספר הזה הן 285714, 428571, 571428, 714285 ו-857142, כולן סיבובים של המספר עצמו. מספרים מעגליים גדולים יותר, כמו המספר המעגלי 0588235294117647, פותחים בכמה אפסים מובילים.

יש נוסחה המאפשרת לכתוב את כל המספרים המעגליים. לכל מספר ראשוני p זר ל-10, יש למספר 10 סדר בחבורת אוילר של p. הסדר הזה הוא t החיובי הקטן ביותר כך ש-$10^t\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. לפי משפט אוילר, הסדר של 10 תמיד מחלק את p-1. אומרים ש-10 יוצר של חבורת אוילר (של p) אם הסדר שלו הוא הערך המקסימלי האפשרי, כלומר p-1.

מתברר שכל מספר מעגלי עשרוני הוא מהצורה $\frac{10^{p-1}-1}{p}$ (והכפולות של מספר זה) כאשר p ראשוני שעבורו 10 הוא יוצר של חבורת אוילר מסדר p. המספרים המעגליים הראשונים מתקבלים עבור p=7,17,19,23,29,47,59,61. אם 10 אכן יוצר את חבורת אוילר של p, אז ההצגה העשרונית של $\frac{1}{p}$ היא מחזורית, עם מחזור באורך p-1 המהווה בעצמו מספר מעגלי. כך למשל $\frac{1}{7}=0.142857142857...$.

אם 10 אינו יוצר של חבורת אוילר, כמו במקרה של p=13, שעבורו הסדר הוא 6 משום ש-$10^6-1=76923\cdot 13$, מתקבל מספר "מעגלי למחצה": כל תמורה מעגלית של 076923 היא כפולה של המספר הזה, אבל לא כל כפולה היא תמורה מעגלית.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld