משפט דה ברנז'

משפט דֶה בְּרַנְזְ' (נקרא בתחילה השערת בִּיבֶּרְבָּךְ (Bieberbach) או השערת המקדמים), הוא השערה בתורת הפונקציות המרוכבות, שהועלתה בשנת 1916 על ידי לודוויג ביברבך, והוכחה ב-1985 על ידי לואי דה ברנז'תבנית:הערה. לאחר פרסום ההוכחה, נמצאו להשערה הוכחות קצרות יותר.

ההשערה

תהי f פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה, כלומר פונקציה הולומורפית המוגדרת על עיגול היחידה $\{z:|z|<1\}$ וחד-חד-ערכית שם. אז המקדמים $a_n$ בפיתוח טיילור $f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ של הפונקציה מקיימים $|a_n|\le n|a_1|$.

תוצאות חלקיות לאורך ההיסטוריה

בשנת 1916, הוכיח ביברבך את הטענה עבור n=2, והעיר שהיא "אולי" נכונה לכל n.תבנית:הערה צ'ארלס לוונר (Lowener) הוכיח את הטענה למקרה שבו n=3 ב-1923.תבנית:הערה השיטות של לוונר עמדו בבסיסן של ההוכחות לכמה מקרים נוספים:

• n=4, תבנית:כ (Garabedian ו-Schiffer ב-1955)תבנית:הערה;
• n=6, תבנית:כ (Ozawa ב-1969תבנית:הערה ו-Pederson ב-1968);תבנית:הערה
• n=5, תבנית:כ (Pederson ו-Schiffer ב-1972).תבנית:הערה

דייוויד הורוביץ (Horowitz) הוכיח בשנת 1979 כי מתקיים $\mathrm{\forall }n:|a_n|\le 1.0657n$.תבנית:הערה

דה-בראנז', שהמשיך את רעיונותיו של לוונר, הוכיח כאמור את הטענה לכל n. התוצאה נחשבת לאחת התוצאות החשובות ביותר באנליזה מרוכבת במאה ה-20.

שימושים

תחום אחד שבו למשפט הייתה השפעה הוא בחקר משוואות דיפרנציאליות. ניתן להשתמש במשפט כדי לקבוע את קיומם וייחודם של פתרונות לסוגים מסוימים של משוואות דיפרנציאליות, שיש להן השלכות חשובות על המודל והניתוח של מערכות פיזיקליות וביולוגיות שונות. בנוסף, המשפט יושם גם על חקר התפלגות המספרים הראשוניים, תחום במתמטיקה שמשך עניין של מתמטיקאים רבים ויש לו השלכות חשובות על חקר ההצפנה ועיצוב מערכות תקשורת מאובטחות.

ראו גם

• פונקציה אוניוולנטית
• השערת גודמן