סכום המנה

בתורת המספרים, סְכוּם המַנָה תבנית:נוסחה של מספר שלם חיובי תבנית:Mvar הוא סכום כל המחלקים הראויים של תבנית:Mvar, כלומר כל המחלקים של תבנית:Mvar מלבד תבנית:Mvar עצמו. זה, $s (n) = \sum_{\binom{d | n,}{d \neq n}} d$ ניתן להשתמש בו כדי לאפיין את המספרים הראשוניים, המספרים המושלמים, המספרים החברותיים, המספרים החסרים, מספרים שופעים ומספרים לא נגיעים, וכדי להגדיר את סדרת המחלקים של מספר.

דוגמאות

לדוגמה, המחלקים הראויים של 12 (כלומר, המחלקים החיוביים של 12 שאינם שווים ל-12) הם תבנית:ללא גלישה ו-6, כך שסכום המנה של 12 הוא 16, כלומר ( תבנית:ללא גלישה ).

הערכים של תבנית:נוסחה עבור $n = 1, 2, 3, . . .$ הם: (מימין לשמאל)

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ...

(תבנית:OEIS)

אפיון מחלקות של מספרים

ניתן להשתמש בפונקציית סכום המנה כדי לאפיין מספר מחלקות בולטות של מספרים:

1 הוא המספר היחיד שסכום המנה שלו הוא 0.
מספר הוא ראשוני אם ורק אם סכום המנה שלו הוא 1.^[1]
סכומי המנה של מספרים מושלמים, חסרים ושופעים שווים למספר עצמו, קטנים ממנו וגדולים ממנו בהתאמה.^[1] המספרים הכמו-מושלמים (אם קיימים מספרים כאלה) הם המספרים תבנית:Mvar שסכומי המנה שלהם שווים ל- תבנית:נוסחה . המספרים הכמעט מושלמים (הכוללים את החזקות של 2, בהיותם המספרים היחידים הידועים עד כה) הם המספרים תבנית:Mvar שסכומי המנה שלהם שווים תבנית:נוסחה .
המספרים הלא נגיעים הם המספרים שאינם סכום המנה של מספר אחר. המחקר שלהם חוזר לפחות לאבו מנסור אל-בגדאדי (בסביבות 1000 לספירה), שראה כי גם 2 וגם 5 הם לא נגיעים.^[1]^[2] פול ארדש הוכיח שמספרם אינסופי.^[3] ההשערה ש-5 הוא המספר האי-זוגי היחיד שלא נגיע נותרה בלתי מוכחת, אך תבוא מצורה של השערה של גולדבך יחד עם התצפית שעבור מספר ראשוני למחצה $p q$ , סכום המנה הוא $p + q + 1$ .^[1]

איטרציה

איטרציה של הפונקציית סכום המנה מייצרת את סדרת המחלקים תבנית:נוסחה של מספר שלם חיובי תבנית:Mvar ברצף זה, אנו מגדירים תבנית:נוסחה.

מספרים חברותיים הם מספרים שרצף המנות שלהם הוא רצף תקופתי. מספרים ידידים הם מספרים חברותיים שלרצף המנות שלהם יש תקופה 2.

עדיין לא ידוע אם רצפים אלה מסתיימים תמיד במספר ראשוני, מספר מושלם או רצף תקופתי של מספרים חברותיים.^[4]

ראו גם

פונקציית סכום מחלקים חיוביים, סכום המחלקים החיוביים של מספר, בחזקת x.
ויליאם מאובריב, נומרולוג מימי הביניים המתעניין בסכומי מנות.

קישורים חיצוניים

תבנית:MathWorld

הערות שוליים

תבנית:הערות שוליים

תבנית:ערך יתום

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, doi:10.1090/btran/10, MR 3481968
↑ Sesiano, J. (1991), "Two problems of number theory in Islamic times", Archive for History of Exact Sciences, 41 (3): 235–238, doi:10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382, S2CID 115235810
↑ Erdős, P. (1973), "Über die Zahlen der Form $σ (n) - n$ und $n - ϕ (n)$ " (PDF), Elemente der Mathematik, 28: 83–86, MR 0337733
↑ Weisstein, Eric W. "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture". MathWorld.

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, doi:10.1090/btran/10, MR 3481968

[2] Sesiano, J. (1991), "Two problems of number theory in Islamic times", Archive for History of Exact Sciences, 41 (3): 235–238, doi:10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382, S2CID 115235810

[3] Erdős, P. (1973), "Über die Zahlen der Form $σ (n) - n$ und $n - ϕ (n)$ " (PDF), Elemente der Mathematik, 28: 83–86, MR 0337733

[4] Weisstein, Eric W. "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture". MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

סכום המנה

תוכן עניינים

דוגמאות

אפיון מחלקות של מספרים

איטרציה

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

סכום המנה

דוגמאות

אפיון מחלקות של מספרים

איטרציה

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש