ספקטרום פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית ספקטרום פרויקטיבי הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג. ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג $A$ יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) $Proj(A)$, אם $A$ אלגברה נוצרת סופית מעל $A_0$. למשל, אם $A=k[x_0,\dots ,x_n]$ הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז $Proj(A)$ הוא המרחב הפרויקטיבי ${\mathbb{P}}_k^n$. בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית $X\subset {\mathbb{P}}_k^n$ המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות $f_i(x_0,\dots ,x_n)=0,i=1,\dots ,m$ מתוארת על-ידי חוג מדורג $A=k[x_0,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_m)$ עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים. בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית $X$ מהחוג המדורג $A$.

$Proj(A)$ כקבוצה

יהי $A={\oplus }_{i\ge 0}{A}_i$ חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל $I\subset A$ נקרא הומוגני אם $I=\oplus I_i,I_i=I\cap A_i$. אוסף אברי $A$ בעלי דרגה חיובית $A_{+}={\oplus }_{i>0}{A}_i$ הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי תבנית:אנ. איברי $Proj(A)$ הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של $A$ שלא מכילים את $A_{+}$.

טופולוגיית זריצקי על $Proj(A)$

בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על $Proj(A)$ טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות $V(I)=\{𝔭\in Proj(A)|𝔭\supset I\}$, כאשר $I$ אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות. זה מגדיר טופולוגיה על $Proj(A)$ הנקראת טופולוגיית זריצקי. בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות $D(f)=\{𝔭\in Proj(A)|𝔭\ni ̸f\}$ כאשר $f$ איבר הומוגני ב-$A$. נציין כי $D(f)$ הומאומורפי לספקטרום של החוג $A_{(f)}$, לוקליזציה הומוגנית של $A$ המוגדרת כאוסף שברים $\frac{a}{f^k}$ ב-$A_f$ בעלי דרגה $0$.

מבנה של סכמה על $Proj(A)$

כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על $Proj(A)$, יש להגדיר עליו את אלומת המבנה $𝒪$, אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות $D(f)$ מהוות בסיס של טופולוגיה, מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום $𝒪(D(f))\to 𝒪(D(fg))$ לכל זוג איברים הומוגניים $f,g$ בחוג $A$. הומיאומורפיזם בין $D(f)$ לבין הספקטרום של $A_{(f)}$ מאפשר להגדיר $𝒪(D(f))=A_{(f)}$ ולקבל את העתקות הצמצום באופן אוטומטי. כיוון שמרחב מחויג $D(f)$ איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית $Spec(A_{(f)})$, $Proj(A)$ הוא סכמה.

מורפיזם סכמות $\pi :Proj(A)\to Spec(A_0)$ מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים $Spec(A_{(f)})\to Spec(A_0)$ המוגדרים על-ידי מבנה של $A_0$-אלגברה על $A_{(f)}$. מורפיזם זה פרויקטיבי עם $A$ אלגברה נוצרת סופית מעל $A_0$.

דוגמאות

המרחב הפרויקטיבי

הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא $Proj(A)$ כאשר $A=k[x_0,\dots ,x_n]$. הקבוצות הפתוחות $D(x_i)$ מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים $A_{(x_i)}=k[\frac{x_0}{x_i},\dots ,\frac{x_n}{x_i}]$, כך שבמקרה $k$ הוא שדה סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של $Proj(A)$ מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי ${\mathbb{P}}_k^n$. באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של $A[x_0,\dots ,x_n]$ כאשר $A$ חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים $x_i$ בעלי דרגה $1$, נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל $A$ המסומן ${\mathbb{P}}_A^n$.

יריעות פרויקטיביות קלאסיות

יהי $k$ שדה סגור אלגברית, $A$ אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה $1$. זה גורר כי $A$ ניתן להציג כמנה של החוג המדורג $S=k[x_0,\dots ,x_n]$ מודולו אידיאל הומוגני $J$. זה מאפשר להציג $Proj(A)$ כתת-סכמה סגורה של ${\mathbb{P}}_k^n$. הנקודות הסגורות של $Proj(A)$ הן נקודות $(x_0:\dots :x_n)$ של ${\mathbb{P}}_k^n$ המקיימות משוואות של $J$.

ניפוח של סכמה אפינית

תהי $X=Spec(A)$ סכמה אפינית ותהי $Y=V(I)$ תת-סכמה סגורה הניתנת על-ידי אידיאל $I$. ניפוח של $X$ ב- $Y$ אפשר לתאר כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג $$S=A\oplus I\oplus I^2\oplus \dots$$

לקריאה נוספת

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. תבנית:ISBN.