פונקציית גמא הלא שלמה

פונקציית הגמא העליונה הלא שלמה, עבור מספר ערכים שלמים של s: 0 (כחול), 1 (אדום), 2 (ירוק), 3 (כתום), 4 (סגול).

פונקציית גמא הלא שלמה מוגדרת על ידי אינטגרל בעל אותו אינטגרנד כמו פונקציית גמא, אך עם גבולות אינטגרציה שונים:

ישנם שני סוגים של פונקציית גמא הלא שלמה: עליונה ותחתונה.

פונקציית גמא הלא שלמה העליונה מוגדרת:

$\mathrm{\Gamma }(s,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t.$

פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה מוגדרת:

$\gamma (s,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t.$

מאפיינים של פונקציית גמא הלא שלמה

מההגדרה אפשר להבין כי:

$\gamma (s,x)+\mathrm{\Gamma }(s,x)=\mathrm{\Gamma }(s)$

על ידי אינטגרציה בחלקים אפשר להגיע למסקנה:

$\mathrm{\Gamma }(s,x)=(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1,x)+x^{s-1}{e}^{-x}$

$\gamma (s,x)=(s-1)\gamma (s-1,x)-x^{s-1}{e}^{-x}$

תכונות

• $\mathrm{\Gamma }(s,x)=(s-1)!e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}\frac{x^k}{k!}$ כאשר s שלם חיובי

• $\mathrm{\Gamma }(s,0)=\mathrm{\Gamma }(s)$

• $\mathrm{\Gamma }(1,x)=e^{-x}$

• $\gamma (1,x)=1-e^{-x}$

מאפיינים של נגזרת הפונקציה

• $\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial x}=-\frac{x^{s-1}}{e^x}$

הגדרת מקרה מיוחד של פונקציית "G" של ("Meijer G") מאיירתבנית:הערה:

$T(m,s,x)=G_{m-1,m}^{m,0}\left(\begin{array}{c}0,0,\dots ,0\\ s-1,-1,\dots ,-1\end{array}|x\right)$

$T(m,s,z)=-\frac{(-1{)}^{m-1}}{(m-2)!}\frac{{\mathrm{d}}^{m-2}}{\mathrm{d}{t}^{m-2}}[\mathrm{\Gamma }(s-t)z^{t-1}]{|}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{s-1+n}}{n!(-s-n{)}^{m-1}}$ כאשר $|z|<1$

• $\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s}=\ln x\mathrm{\Gamma }(s,x)+xT(3,s,x)$
• $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s^2}={\ln }^{2}x\mathrm{\Gamma }(s,x)+2x[\ln xT(3,s,x)+T(4,s,x)]$

• $\frac{{\partial }^m\mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s^m}={\ln }^{m}x\mathrm{\Gamma }(s,x)+mx\sum _{n=0}^{m-1}{P}_n^{m-1}{\ln }^{m-n-1}xT(3+n,s,x)$ וגם $P_j^n=\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)j!=\frac{n!}{(n-j)!}.$

התנהגות אסימפטוטית

• $\frac{\gamma (s,x)}{x^s}\to \frac{1}{s}$ כאשר $x\to 0$

• $\frac{\mathrm{\Gamma }(s,x)}{x^s}\to -\frac{1}{s}$ כאשר $x\to 0$ וגם $\mathrm{\Re }(s)<0$

• $\gamma (s,x)\to \mathrm{\Gamma }(s)$ כאשר $x\to \mathrm{\infty }$

• $\frac{\mathrm{\Gamma }(s,x)}{x^{s-1}{e}^{-x}}\to 1$ כאשר $x\to \mathrm{\infty }$

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld