פונקציית זטא של דדקינד

במתמטיקה פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים $K$ היא פונקציה מרומורפית על המישור המרוכב. הפנקציה מהווה הכללה של פונקציית זטא של רימן. באופן מפורש פונקציית זטא של דדקינד עבור המקרה בו $K$ הוא שדה המספרים הרציונליים, היא פונקציית זטא של רימן. בדומה לפונקציית זטא של רימן, גם פונקציית זטא של דדקינד שימושית מאוד בתורת המספרים. בעוד שפונקציית זטא של רימן מספקת מידע על ההתפלגות של המשפרי מהראשוניים, פונקציית זטה של דדקינד מספקת מידע על התפלגות הזאת בשילוב עם תכונות אריתמטיות של המספרים הראשוניים הקשורות לשדה $K$.

הגדרה

פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים $K$ היא ההמשכה האנליטית של $${\zeta }_K(s)=\sum _{I\subset {𝒪}_K}(N_{\mathbb{Q}}^K(I){)}^{-s},$$ כאשר $I$ עובר על האידיאלים של חוג השלמים ${𝒪}_K$, ו-$N_{\mathbb{Q}}^K(I)=|{𝒪}_K:I|$, הנורמה של $I$. אם $K$ הוא שדה המספרים הרציונליים, מתקבלת פונקציית זטא של רימן. גם במקרה הכללי, הטור המתאר את פונקציית זטא מתכנס עבור $\text{Re}(s)>1$, וקיימת עבורו המשכה לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט יחיד ב-$s=1$.

השערת רימן המוכללת

השערת רימן המוכללת גורסת כי לכל שדה מספרים $K$, האפסים של פונקציית זטא של דדקינד המתאימה מקיימים $\text{Re}(s)=\frac{1}{2}$. תבנית:פונקציות L וזטא תבנית:נוסחת מספר המחלקה