פונקציית קסי של רימן

פונקציית קסי של רימן במישור המרוכב.

במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (מסומנת באות $\xi$) היא וואריאנט של פונקציית זטא של רימן המקיימת משוואה פונקציונלית פשוטה. הפונקציה נקראת על שם ברנהרד רימן.

הגדרת הפונקציה

בעקבות אדמונד לנדאו, פונקציית קסי מוגדרת על ידי:

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s)$

עבור $s\in ℂ$, כאשר $\mathrm{\Gamma }$ היא פונקציית גמא ו-$\zeta$ היא פונקציית זטא של רימן. לפי הגדרה זו,

$\xi (1-s)=\xi (s)$.

ההגדרה המקורית, שכיום מסומנת ב-$\mathrm{\Xi }$, היא:

$\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+zi)$

ומקיימת את המשוואה הפונקציונלית

$\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z)$.

מאפייני הפונקציה

• $\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n^2-n)(n-1)!$

כאשר $B_n$ מציין את מספר ברנולי ה-$n$-י'. אפשר לראות כי $\xi (2)=\frac{\pi }{6}$.

• $\frac{d}{dz}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n$

כאשר

• ${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n]$

כאשר ρ מוגדרת להיות השורשים הלא-טריוויאליים של פונקציית זטא של רימן. הטור למעלה חשוב מאוד לקריטריון לי, אשר אומר שהשערת רימן שקולה לכך ש-${\lambda }_n>0$ לכל $n$ חיובי.

• $\mathrm{\Xi }(s)=\mathrm{\Xi }(0)\prod _{\alpha }(1-\frac{s}{\alpha })$

כאשר $\alpha$ מוגדרת להיות השורשים של $\xi$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld