הצגת המקור של הדף "אינטגרל אליפטי"

'''אינטגרל אליפטי''' הוא [[פונקציה]] מהצורה:
:<math>f(x)=\int_{c}^{x} R\left (t,\sqrt{P(t)}\right) \mathrm{d}t</math>
כאשר <math>c</math> מספר קבוע, <math>R</math> היא [[פונקציה רציונלית]] של שני משתנים ו-<math>P</math> היא [[פולינום]] מ[[מעלה (פולינום)|מעלה]] 3 או 4.

אינטגרל אליפטי אינו [[פונקציה אלמנטרית]]. פונקציות מסוג זה נקראות אינטגרל אליפטי כי הן הופיעו לראשונה בניסיונות לחשב [[היקף]] של [[אליפסה]].

אינטגרלים אליפטיים נחקרו לראשונה על ידי [[ג'וליו פניאנו]] {{אנג|Giulio Fagnano}} ו[[לאונרד אוילר]] בסביבות [[1750]].

באופן כללי, אינטגרלים בעלי הצורה הזאת אינם ניתנים לביטוי כצירופים של פונקציות אלמנטריות, אך חריגות מן הכלל הזה קורות כאשר ל-''<math>P</math>'' [[ריבוי אלגברי|שורשים מרובים]], או כאשר <math>R(x,y)</math> אינה מכילה חזקות אי-זוגיות של <math>y</math>. אחד המשפטים החשובים בנוגע לחישוב אינטגרלים אליפטיים קובע שכל אינטגרל אליפטי ניתן להביא לצורה שמערבת אינטגרלים של פונקציות רציונליות עם אינטגרלים של אחת משלוש הצורות הקנוניות של [[אדריאן-מארי לז'נדר|לז'נדר]] (אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון, השני והשלישי).

== מינוח ==
'''אינטגרלים אליפטיים לא שלמים''' הם פונקציות של שני משתנים; לעומת זאת, '''אינטגרלים אליפטיים שלמים''' הם פונקציות של משתנה יחיד. המשתנים הללו ניתנים לביטוי במגוון של דרכים שונות אך שקולות (הן מתארות את אותו האינטגרל). רוב הטקסטים נצמדים למינוח הבא:

* <math>\alpha</math> היא '''הזווית המודולרית'''.
* <math>k = \sin \alpha</math> הוא '''המודולוס האליפטי''' או ה[[אקסצנטריות (מתמטיקה)|אקסצנטריות]].
* <math>m = k^2 = \sin^2 \alpha</math> נקרא '''הפרמטר'''.

כל אחד משלושת הגדלים שהוזכרו לעיל נקבע בהינתן כל אחד מהשניים האחרים. 

את המשתנה השני מסמנים לעיתים קרובות באות <math>\varphi</math>, והוא מכונה ה'''אמפליטודה''' של האינטגרל האליפטי.

== מיון אינטגרלים אליפטיים ==
'''האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג הראשון''' <math>F</math> מוגדר כ:

<math> F(\varphi,k) = F\left(\varphi \,|\, k^2\right) = F(\sin \varphi ; k) = \int_0^\varphi \frac {\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}</math>.

זוהי הצורה הטריגונומטרית של האינטגרל; אם מציבים <math>t = \sin\theta</math> ו-<math>x = \sin\varphi</math> אז מקבלים את צורת יעקובי של האינטגרל:

:<math> F(x ; k) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{\left(1 - t^2\right)\left(1 - k^2 t^2\right)}}</math>.

'''האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השני''' <math>E</math> בצורתו הטריגונומטרית הוא:

<math> E(\varphi,k) = E\left(\varphi \,|\,k^2\right) = E(\sin\varphi;k) = \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, \mathrm{d}\theta</math>.

כשמציבים <math>t = \sin\theta</math> ו-<math>x = \sin\varphi</math> מקבלים את צורת יעקובי:

:<math> E(x;k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\, \mathrm{d}t</math>.

'''האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השלישי''' <math>\Pi</math> הוא:

:<math> \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi  \frac{1}{1-n\sin^2 \theta} \frac {\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-\left(\sin\theta\sin \alpha\right)^2}}</math>

או:

<math> \Pi(n ; \varphi \,|\,m) = \int_{0}^{\sin \varphi} \frac{1}{1-nt^2} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{\left(1-m t^2\right)\left(1-t^2\right) }}</math>.

כאשר המספר <math>n</math> נקרא ''המאפיין'' ויכול לקבל כל ערך, ללא תלות במשתנים האחרים.

==== אינטגרלים אליפטיים שלמים ====
[[Image:Mplwp complete ellipticKk.svg|thumb|left|300px|גרף של ערך האינטגרל האליפטי השלם <math>K(k)</math> כפונקציה של ''<math>k</math>''.]]
כל אחד מהאינטגרלים האליפטיים שהוזכרו מקודם נקראים ''שלמים'' כאשר האמפליטודה מקיימת <math>\varphi = \frac{\pi}{2}</math> או <math>x = 1</math>. למשל, האינטגרל האליפטי השלם מהסוג הראשון <math>K</math> הוא:

:<math>K(k)=\int_0^\tfrac{\pi}{2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}}</math>.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Elliptic_integral}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

{{קצרמר|מתמטיקה}}
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:פונקציות אליפטיות]]
[[קטגוריה:אינטגרלים|אליפטי]]