אינטגרל אליפטי

אינטגרל אליפטי הוא פונקציה מהצורה:

$f(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}R(t,\sqrt{P(t)})\mathrm{d}t$

כאשר $c$ מספר קבוע, $R$ היא פונקציה רציונלית של שני משתנים ו-$P$ היא פולינום ממעלה 3 או 4.

אינטגרל אליפטי אינו פונקציה אלמנטרית. פונקציות מסוג זה נקראות אינטגרל אליפטי כי הן הופיעו לראשונה בניסיונות לחשב היקף של אליפסה.

אינטגרלים אליפטיים נחקרו לראשונה על ידי ג'וליו פניאנו תבנית:אנג ולאונרד אוילר בסביבות 1750.

באופן כללי, אינטגרלים בעלי הצורה הזאת אינם ניתנים לביטוי כצירופים של פונקציות אלמנטריות, אך חריגות מן הכלל הזה קורות כאשר ל-$P$ שורשים מרובים, או כאשר $R(x,y)$ אינה מכילה חזקות אי-זוגיות של $y$. אחד המשפטים החשובים בנוגע לחישוב אינטגרלים אליפטיים קובע שכל אינטגרל אליפטי ניתן להביא לצורה שמערבת אינטגרלים של פונקציות רציונליות עם אינטגרלים של אחת משלוש הצורות הקנוניות של לז'נדר (אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון, השני והשלישי).

מינוח

אינטגרלים אליפטיים לא שלמים הם פונקציות של שני משתנים; לעומת זאת, אינטגרלים אליפטיים שלמים הם פונקציות של משתנה יחיד. המשתנים הללו ניתנים לביטוי במגוון של דרכים שונות אך שקולות (הן מתארות את אותו האינטגרל). רוב הטקסטים נצמדים למינוח הבא:

• $\alpha$ היא הזווית המודולרית.
• $k=\sin \alpha$ הוא המודולוס האליפטי או האקסצנטריות.
• $m=k^2={\sin }^2\alpha$ נקרא הפרמטר.

כל אחד משלושת הגדלים שהוזכרו לעיל נקבע בהינתן כל אחד מהשניים האחרים.

את המשתנה השני מסמנים לעיתים קרובות באות $\phi$, והוא מכונה האמפליטודה של האינטגרל האליפטי.

מיון אינטגרלים אליפטיים

האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג הראשון $F$ מוגדר כ:

$F(\phi ,k)=F(\phi |k^2)=F(\sin \phi ;k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$.

זוהי הצורה הטריגונומטרית של האינטגרל; אם מציבים $t=\sin \theta$ ו-$x=\sin \phi$ אז מקבלים את צורת יעקובי של האינטגרל:

$F(x;k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}$.

האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השני $E$ בצורתו הטריגונומטרית הוא:

$E(\phi ,k)=E(\phi |k^2)=E(\sin \phi ;k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta$.

כשמציבים $t=\sin \theta$ ו-$x=\sin \phi$ מקבלים את צורת יעקובי:

$E(x;k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{t}^2}}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t$.

האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השלישי $\mathrm{\Pi }$ הוא:

$\mathrm{\Pi }(n;\phi \setminus \alpha )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{1}{1-n{\sin }^2\theta }\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-{(\sin \theta \sin \alpha )}^2}}$

או:

$\mathrm{\Pi }(n;\phi |m)=\underset{0}{\overset{\sin \phi }{\int }}\frac{1}{1-n{t}^2}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-m{t}^2)(1-t^2)}}$.

כאשר המספר $n$ נקרא המאפיין ויכול לקבל כל ערך, ללא תלות במשתנים האחרים.

אינטגרלים אליפטיים שלמים

גרף של ערך האינטגרל האליפטי השלם $K(k)$ כפונקציה של $k$.

כל אחד מהאינטגרלים האליפטיים שהוזכרו מקודם נקראים שלמים כאשר האמפליטודה מקיימת $\phi =\frac{\pi }{2}$ או $x=1$. למשל, האינטגרל האליפטי השלם מהסוג הראשון $K$ הוא:

$K(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}$.

קישורים חיצוניים

• תבנית:אנציקלופדיה למתמטיקה
• תבנית:MathWorld