הצגת המקור של הדף "אי-שוויון מינקובסקי"

ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]], '''אי-שוויון מינקובסקי''' הוא [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-שוויון]] הקרוי על שם ה[[מתמטיקאי]] וה[[פיזיקאי]] [[הרמן מינקובסקי]]. אי-שוויון זה הוא וריאציה של [[אי-שוויון המשולש]] ל[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] <math>p</math> במרחב אוקלידי (גם [[אינסוף]] ממדי), המוכיח כי כל [[פונקציה]] כזו היא אכן נורמה.

==בממד סופי==

עבור <math>p \ge 1</math>, מגדירים את '''נורמת <math>{ \ell }_{ p }</math>''' של וקטור <math>x \in \mathbb{R}^n</math> לפי הנוסחה <math>||\overrightarrow{x}||_{p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{{|{x}_{i}}^{p}|}} </math>.

'''אי-שוויון מינקובסקי''' קובע כי: <math>||x+y||_{ p }\le ||x||_{ p }+||y||_{ p }</math>, לכל שני וקטורים <math>x,y \in \mathbb{R}^n</math>.

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת <math>{ \ell }_{ p }</math> מקיימת את [[אי-שוויון המשולש]]. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה [[נורמה (אנליזה)|נורמה]].

==הוכחה==
נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי [[אי-שוויון המשולש]]:

<math>{ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p }=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p } } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }||{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } \le \sum _{ i=1 }^{ n }{ { (|{ x }_{ i }|+|{ y }_{ i }|)\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ y }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } </math>

כעת, לפי [[אי-שוויון הולדר]]:

<math>\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ y }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } \le ({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ [\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ q(p-1) } } ] }^{ \frac { 1 }{ q } }=({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ [\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p } } ] }^{ \frac { p-1 }{ p } }=({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p-1 }</math>

ולכן: 
<math>{ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p }\le ({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p-1 }</math>,
ולאחר צמצום נקבל 
<math>{ { ||x+y|| }_{ p } }\le { ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }</math>.

==בתורת המידה==
{{ערך מורחב|מרחב Lp}}

ב[[תורת המידה]], נורמה-<math>p</math> של פונקציה על [[מרחב מידה]] <math>(X,S,\mu)</math> מוגדרת כך - <math>||f||_p= (\int_{X}{|f|^pd \mu})^{\frac{1}{p}}</math>. ה[[מרחב Lp|מרחב]] <math>L^p(X)</math> הוא אוסף כל הפונקציות עבורן <math>||f||_p < \infty</math>; זהו [[מרחב וקטורי]] ממשי, כלומר [[מרחב אוקלידי]] (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את '''אי שוויון מינקובסקי''' - <math>||f+g||_p \le ||f||_p +||g||_p</math>, ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא [[מרחב מטרי שלם|שלמה]], ולכן זהו [[מרחב בנך]]. במקרה <math>p=2</math> מתקבל [[מרחב הילברט]] <math>L^2(X)</math>.

המקרה הסופי הוא [[מקרה פרטי]] של מרחבי <math>L^p</math>; הוא מתקבל עבור המרחב <math>L^p(X_n,P(X_n),\#)</math>, כאשר <math>X_n=\{ 1,...,n\}</math> ו-<math>\#</math> היא [[מידת הספירה]] (כמות האיברים בקבוצה).

==ראו גם==
* [[נורמה (אנליזה)|נורמה]]
* [[אי-שוויון הולדר]]
* [[מרחב Lp]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אי-שוויונות]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]