אי-שוויון מינקובסקי

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה $p$ במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי

עבור $p \geq 1$ , מגדירים את נורמת $ℓ_{p}$ של וקטור $x \in ℝ^{n}$ לפי הנוסחה $| | \vec{x} | |_{p} = \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} {| x_{i}}^{p} |}$ .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: $| | x + y | |_{p} \leq | | x | |_{p} + | | y | |_{p}$ , לכל שני וקטורים $x, y \in ℝ^{n}$ .

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת $ℓ_{p}$ מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה

נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי אי-שוויון המשולש:

${| | x + y | |}_{p}^{p} = \sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} + y_{i} |}^{p} = \sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} + y_{i} | | x_{i} + y_{i} |}^{p - 1} \leq \sum_{i = 1}^{n} {(| x_{i} | + | y_{i} |) \cdot | x_{i} + y_{i} |}^{p - 1} = \sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} | \cdot | x_{i} + y_{i} |}^{p - 1} + \sum_{i = 1}^{n} {| y_{i} | \cdot | x_{i} + y_{i} |}^{p - 1}$

כעת, לפי אי-שוויון הולדר:

$\sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} | \cdot | x_{i} + y_{i} |}^{p - 1} + \sum_{i = 1}^{n} {| y_{i} | \cdot | x_{i} + y_{i} |}^{p - 1} \leq ({| | x | |}_{p} + {| | y | |}_{p}) {[\sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} + y_{i} |}^{q (p - 1)}]}^{\frac{1}{q}} = ({| | x | |}_{p} + {| | y | |}_{p}) {[\sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} + y_{i} |}^{p}]}^{\frac{p - 1}{p}} = ({| | x | |}_{p} + {| | y | |}_{p}) {| | x + y | |}_{p}^{p - 1}$

ולכן: ${| | x + y | |}_{p}^{p} \leq ({| | x | |}_{p} + {| | y | |}_{p}) {| | x + y | |}_{p}^{p - 1}$ , ולאחר צמצום נקבל ${| | x + y | |}_{p} \leq {| | x | |}_{p} + {| | y | |}_{p}$ .

בתורת המידה

תבנית:ערך מורחב

בתורת המידה, נורמה- $p$ של פונקציה על מרחב מידה $(X, S, μ)$ מוגדרת כך - $| | f | |_{p} = (\int_{X} | f |^{p} d μ)^{\frac{1}{p}}$ . המרחב $L^{p} (X)$ הוא אוסף כל הפונקציות עבורן $| | f | |_{p} < \infty$ ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - $| | f + g | |_{p} \leq | | f | |_{p} + | | g | |_{p}$ , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה $p = 2$ מתקבל מרחב הילברט $L^{2} (X)$ .

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי $L^{p}$ ; הוא מתקבל עבור המרחב $L^{p} (X_{n}, P (X_{n}), #)$ , כאשר $X_{n} = {1, ..., n}$ ו- $#$ היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם

קישורים חיצוניים

תבנית:MathWorld

אי-שוויון מינקובסקי

תוכן עניינים

בממד סופי

הוכחה

בתורת המידה

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

אי-שוויון מינקובסקי

בממד סופי

הוכחה

בתורת המידה

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

חיפוש