הצגת המקור של הדף "אי-שוויון ניוטון"

ב[[מתמטיקה]], '''אי-שוויון ניוטון''' (ב[[אנגלית]]: Newton's inequalities) מתייחס לקבוצה של [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-שוויונות]] הנקראים על שם [[אייזק ניוטון]]. ניוטון ניסח והוכיח את האי-שוויונות האלה בספרו [[אריתמטיקה אוניברסלית]] ([[1707]]), במסגרת ההרחבה שנתן ל[[כלל הסימנים של דקארט]].

== ניסוח האי-שוויונות ==

יהיו ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> [[מספרים ממשיים]]. נסמן ב- <math>\sigma_k</math> את ה[[פולינום סימטרי|ביטוי הסימטרי האלמנטרי]] ה-k במספרים אלו (כלומר ערכו של <math>\sigma_k</math> הוא הערך של הפונקציה הסימטרית האלמנטרית ה-k כשמציבים במשתנים שלה את מספרים אלו), ונגדיר את '''הממוצעים הסימטריים האלמנטריים''' כ-:

<math>S_k = \frac{\sigma_k}{\binom{n}{k}}</math>.

אי-שוויון ניוטון קובע כי הממוצעים הסימטריים מקיימים את האי-שוויון:

<math>S_{k-1}S_{k+1}\le S_k^2</math>.

כיוון שהערכים של הפונקציות הסימטריות האלמנטריות של קבוצה של n מספרים ממשיים הם למעשה המקדמים של [[פולינום]] ממעלה n ששורשיו הם המספרים הממשיים האלה, ניתן לנסח מחדש את האי-שוויון כטענה על מקדמי פולינום שכל שורשיו ממשיים:

<math>a_{{k+1}}\cdot a_{{k-1}}\le a_k^2 \frac{{k}} {{k + 1}} \frac {{n - k}} {{n + 1 - k}}</math>,

כאשר <math> a_k </math> הוא מקדם הפולינום ה-k.

[[קטגוריה:אייזק ניוטון]]
[[קטגוריה:אי-שוויונות]]