אי-שוויון ניוטון

במתמטיקה, אי-שוויון ניוטון (באנגלית: Newton's inequalities) מתייחס לקבוצה של אי-שוויונות הנקראים על שם אייזק ניוטון. ניוטון ניסח והוכיח את האי-שוויונות האלה בספרו אריתמטיקה אוניברסלית (1707), במסגרת ההרחבה שנתן לכלל הסימנים של דקארט.

ניסוח האי-שוויונות

יהיו a₁, a₂, ..., a_n מספרים ממשיים. נסמן ב- ${\sigma }_k$ את הביטוי הסימטרי האלמנטרי ה-k במספרים אלו (כלומר ערכו של ${\sigma }_k$ הוא הערך של הפונקציה הסימטרית האלמנטרית ה-k כשמציבים במשתנים שלה את מספרים אלו), ונגדיר את הממוצעים הסימטריים האלמנטריים כ-:

$S_k=\frac{{\sigma }_k}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$.

אי-שוויון ניוטון קובע כי הממוצעים הסימטריים מקיימים את האי-שוויון:

$S_{k-1}{S}_{k+1}\le S_k^2$.

כיוון שהערכים של הפונקציות הסימטריות האלמנטריות של קבוצה של n מספרים ממשיים הם למעשה המקדמים של פולינום ממעלה n ששורשיו הם המספרים הממשיים האלה, ניתן לנסח מחדש את האי-שוויון כטענה על מקדמי פולינום שכל שורשיו ממשיים:

$a_{k+1}\cdot a_{k-1}\le a_k^2\frac{k}{k+1}\frac{n-k}{n+1-k}$,

כאשר $a_k$ הוא מקדם הפולינום ה-k.