הצגת המקור של הדף "גרעין (תורת הקטגוריות)"

ב[[תורת הקטגוריות]], '''גרעין''' הוא מושג כללי המכליל את מושג ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] האלגבראי - דהיינו גרעין של [[הומומורפיזם]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]ים ו[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]]ים.

באופן לא לגמרי פורמלי, גרעין של מורפיזם <math>\,f:X\rightarrow Y</math> עבור <math>X,Y</math> [[אובייקט (תורת הקטגוריות)|אובייקט]]ים כלשהם, הוא האובייקט <math>K</math> "הכללי ביותר" עם מורפיזם מתאים מהצורה <math>\,k:K\rightarrow X</math>, כך ש-<math>\,f\circ k = 0</math>.

==הגדרה==

תהי <math>C</math> [[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]], המכילה את [[מורפיזם האפס]]. יהיו <math>X,Y</math> אובייקטים ויהי <math>\,f:X\rightarrow Y</math> מורפיזם.

ה''גרעין'' של <math>f</math> הוא אובייקט <math>\ker(f)</math> שעבורו קיים מורפיזם <math>k : \ker (f) \to Y</math> שהוא ה[[משווה (מתמטיקה)|משווה]] של <math>f</math> ושל מורפיזם האפס <math>0_{X,Y} : X \to Y</math>, וכן <math>\ker (f)</math> אוניברסלי ביחס לתכונה זו של קיום <math>k</math>.

באופן מפורש, גרעין הוא אובייקט המקיים את שתי התכונות הבאות:
* <math>\,f\circ k = 0_{K,Y}</math>, כלומר הדיאגרמה הבאה [[דיאגרמה קומוטטיבית|קומוטטיבית]]:
<div style="text-align: center;">[[תמונה:KerCat01.png]]</div>
* בהינתן אובייקט <math>K'</math> עם מורפיזם כלשהו <math>\,k':K'\rightarrow X</math> כך ש-<math>\,f\circ k' = 0_{K',Y}</math>, קיים מורפיזם יחיד <math>\,u:K'\rightarrow K</math> כך ש <math>\,k\circ u = k'</math>. כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:
<div style="text-align: center;">[[תמונה:KerCat02.png]]</div>

במקרים רבים, במיוחד ב[[אלגברה]], מתייחסים לגרעין כאל הגרעין האלגברי, וההמורפיזם <math>k</math> הוא העתקת ההכלה הטבעית.

ניתן להראות כי ''k'' הוא תמיד [[מונומורפיזם]].

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין אז הוא יחיד עד כדי [[איזומורפיזם]].

==דוגמאות==

* בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם <math>\,f:X\rightarrow Y</math>, אם ''K'' הוא הגרעין של ''f'' במובן הרגיל של המילה, אז ''K'' היא תת-קבוצה של ''X'', ומורפיזם ההכלה <math>\,k:K\rightarrow X</math> הוא הגרעין של ''f'' במובן הקטגורי.
* בקטגוריה של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).

[[קטגוריה:תורת הקטגוריות]]