גרעין (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות, גרעין הוא מושג כללי המכליל את מושג הגרעין האלגבראי - דהיינו גרעין של הומומורפיזם של חבורות, חוגים ומודולים.

באופן לא לגמרי פורמלי, גרעין של מורפיזם $f:X\to Y$ עבור $X,Y$ אובייקטים כלשהם, הוא האובייקט $K$ "הכללי ביותר" עם מורפיזם מתאים מהצורה $k:K\to X$, כך ש-$f\circ k=0$.

הגדרה

תהי $C$ קטגוריה, המכילה את מורפיזם האפס. יהיו $X,Y$ אובייקטים ויהי $f:X\to Y$ מורפיזם.

הגרעין של $f$ הוא אובייקט $\ker (f)$ שעבורו קיים מורפיזם $k:\ker (f)\to Y$ שהוא המשווה של $f$ ושל מורפיזם האפס $0_{X,Y}:X\to Y$, וכן $\ker (f)$ אוניברסלי ביחס לתכונה זו של קיום $k$.

באופן מפורש, גרעין הוא אובייקט המקיים את שתי התכונות הבאות:

• $f\circ k=0_{K,Y}$, כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

• בהינתן אובייקט $K^{\prime }$ עם מורפיזם כלשהו $k^{\prime }:K^{\prime }\to X$ כך ש-$f\circ k^{\prime }=0_{K^{\prime },Y}$, קיים מורפיזם יחיד $u:K^{\prime }\to K$ כך ש $k\circ u=k^{\prime }$. כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

במקרים רבים, במיוחד באלגברה, מתייחסים לגרעין כאל הגרעין האלגברי, וההמורפיזם $k$ הוא העתקת ההכלה הטבעית.

ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם.

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

דוגמאות

• בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם $f:X\to Y$, אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת-קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה $k:K\to X$ הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
• בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).