הצגת המקור של הדף "הבעיות הגאומטריות של ימי קדם"

'''הבעיות הגאומטריות של ימי קדם''' הן [[בנייה בסרגל ומחוגה|בעיות בנייה]] שנוסחו על ידי ה[[יוון העתיקה|יוונים]] הקדמונים, והעסיקו [[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] במשך מאות שנים. הבעיות הן: 
*[[הכפלת הקובייה]]: בניית [[קובייה]] שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה
*[[תרבוע העיגול]]: בניית [[ריבוע]] השווה בשטחו לעיגול נתון
*[[שילוש זווית]]: חלוקת [[זווית]] נתונה לשלושה חלקים שווים
*בניית [[מצולע משוכלל]] בן שבע צלעות
את כל הבניות יש לבצע במסגרת כללי המשחק של הגאומטריה, כלומר באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה]] בלבד (הסרגל ללא [[שנת|שנתות]] ואינו יכול למדוד אורך). 

רק ב{{ה|מאה ה-19}} הושם קץ לניסיונות לפתור בעיות בנייה אלה, כאשר הוכח בעזרת [[תורת גלואה]] שהן לא פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של ה[[גאומטריה]].

כמוצא זמני מחוסר היכולת לפתור בעיות אלה בכלים המצומצמים של הבנייה הגאומטרית (סרגל ומחוגה), המציאו היוונים כלים משוכללים המאפשרים את ביצוע הבנייה הנדרשת.

בעיה נודעת נוספת, בעלת אופי שונה והשפעה מרחיקת לכת על הגאומטריה העתיקה והמודרנית, היא הבעיה של הוכחת [[אקסיומת המקבילים]], האקסיומה החמישית של [[אוקלידס]], מתוך האקסיומות האחרות.

==הכפלת נפחה של קובייה==
{{ערך מורחב|הכפלת הקובייה}}
[[קובץ:Doubling the cube problem.PNG|ממוזער|הכפלת הקובייה]]
על פי האגדה, בשנת 430 לפנה"ס השתוללה ב[[אתונה]] מגפת [[דבר (מחלה)|דבר]] קשה. כאשר נשאל [[האורקל מדלפי|האורקל]] שבמקדש [[אפולו]] שבעיר [[דלפי]] כיצד לעצור את המגפה, ענה: הכפילו את נפח המזבח לאפולו. מזבח זה היה בצורת קובייה. האתונאים בנו מזבח חדש שאורך צלעו כפול מזה של המזבח הקיים. משלא נפסקה המגפה הבינו האתונאים את טעותם: נפח המזבח החדש היה גדול פי שמונה (שתיים בחזקת שלוש) מנפח המזבח המקורי. כך נולדה הבעיה הראשונה: כיצד לבנות קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה. ליתר דיוק: כאשר נתונה צלע של קובייה, לבנות צלע של קובייה שנפחה כפול.

[[היפוקרטס מכיוס]] ניסח מחדש את הבעיה, כך שנדרשת מציאת שני [[ממוצע#ממוצע הנדסי (ממוצע גאומטרי)|ממוצעים גאומטריים]] עוקבים המשתלבים בין קטע נתון ובין קטע כפול באורכו. הוא ו[[מנכמוס]] הראו שאפשר לפתור בעיה זו על ידי חיתוך [[פרבולה]] ו[[היפרבולה]], או שתי [[פרבולה|פרבולות]] כמו <math>2y=x^2,x=y^2</math>.

ב{{ה|מאה ה-2 לפנה"ס}} הראה [[דיוקלס]] כיצד להכפיל את הקוביה באמצעות ה[[ציסואידה]]. [[אייזק ניוטון|ניוטון]] השתמש לצורך כך ב[[עקום החלזון של פסקל]], ה-limacon.

הכפלת הקוביה דורשת בנייה של קטע שאורכו <math>\sqrt[3]{2}</math>, וכיום ידוע שמספר זה אינו [[שדה המספרים הניתנים לבנייה|ניתן לבנייה]] [[בנייה בסרגל ובמחוגה|בסרגל ובמחוגה]]. לכן לא ניתן להכפיל את הקובייה בעזרת סרגל ומחוגה בלבד.

==תרבוע העיגול==
{{ערך מורחב|תרבוע העיגול}}
בעיית '''תַּרְבּוּעַ העיגול''' (או '''ריבוע העיגול''') דורשת לבנות [[ריבוע]] השווה ב[[שטח (מתמטיקה)|שטחו]] ל[[עיגול]] נתון. לבעיה זו הוצעו כל כך הרבה פתרונות שגויים, עד שבשנת [[1775]] החליטה [[האקדמיה הצרפתית למדעים]] שלא לבדוק יותר פתרונות לבעיה זו.

שטחו של מעגל שווה ל-<math>\pi R^2</math>, כלומר [[רדיוס|רדיוסו]] בחזקה שנייה כפול [[פאי]], ושטחו של ריבוע הוא <math>x^2</math>, כלומר צלעו בחזקה שנייה. מכך מתקבל שעלינו לבנות קטע שאורכו הוא הרדיוס כפול שורש פאי. מתכונותיו של [[שדה המספרים הניתנים לבנייה]] נגזר שאם ניתן לבנות קטע באורך <math>\pi</math> ניתן גם לבנות קטע באורך <math>\sqrt{\pi}</math>, ולהפך.

בשנת [[1882]] הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] את [[משפט לינדמן]] שקובע שעבור כל <math>\alpha</math> [[מספר אלגברי|אלגברי]] שאינו 0, <math>e^\alpha</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]. מכאן ניתן [[הוכחה בדרך השלילה|להוכיח בשלילה]] שפאי טרנסצנדנטי. נניח שפאי הוא מספר אלגברי. מכיוון ש-<math>i</math> (השורש הריבועי של 1-) אלגברי, גם המכפלה של <math>i</math> ופאי אלגברית. [[זהות אוילר]] קובעת כי :<math>e^{\pi i} =-1</math>
, ולכן 1- הוא טרנצנדנטי, מה שבבירור לא נכון. מכאן נובע כי <math>\pi</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שבבנייה באמצעות סרגל ומחוגה בלבד לא ניתן לבנות יחס טרנסצנדנטי.

==חלוקה לשלוש (טריסקציה) של זווית==
{{ערך מורחב|שילוש זווית}}
[[קובץ:Angle trisection.jpg|ממוזער|300 פיקסלים|שילוש [[זווית]] באמצעות רצועה ([[סרגל]] כפול – סרגל שיש לו שני צדדים [[ישרים מקבילים]] ב[[מרחק]] ידוע).{{ש}}נתונה הזווית AOB (באיור: ב[[כחול]]), כאשר O מרכזו של [[מעגל]], שעליו מונחות ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] A ו-B. ממשיכים את ה[[קטע (גאומטריה)|קטע]] (ה[[ישר]]) AO  עד ל[[חיתוך (גאומטריה)|חיתוך]] עם המעגל בנקודה D, ומעבירים דרך D [[ישרים מקבילים|מקביל]] ל-OB, החותך את המעגל בנקודה E. באמצעות הרצועה, מאתרים על המשך הישר OB נקודה X מחוץ למעגל, כך שה[[מרחק]] ממנה לנקודת החיתוך Y של המעגל עם DX שווה ל[[רדיוס]] המעגל (זו פעולה שלא ניתן לבצע ב[[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]). הזווית EDX (באיור: ב[[אדום]]) שווה לשליש הזווית AOB.]]
בעיה זו דורשת לחלק [[זווית]] נתונה לשלושה חלקים שווים. מתברר שאפילו את הזווית של 60° לא ניתן לחלק לשלושה, כלומר, לא ניתן לבנות בסרגל ובמחוגה זווית בת 20°. הראשון שהוכיח תוצאה זו היה פייר לורן ונצל (1814–1869), ב-1837.{{הערה|Journal de Math. 2 (1837),366--372.}}

עם זאת, תחת ההיתר לסמן על הסרגל סימן אחד, הבעיה פתירה{{הערה|1= מ.י. ויגודסקי, תקציר המתמטיקה האלמנטרית, בהוצאת "מדע", מוסקבה, 1974, מהדורה כ"ג. חלק ד', פרק א', סימן 11. }}.

==בניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות==
{{ערך מורחב|משובע}}
[[קובץ:Heptagon.svg|שמאל|ממוזער|250 פיקסלים|משובע משוכלל]]
ראו [[בנייה בסרגל ובמחוגה]] לדיון כללי בבנייה של מצולעים משוכללים.

==ראו גם==
*[[בעיית תרבוע העיגול של טרסקי]]

==קישורים חיצוניים==
*מוטי בן ארי, [http://www.weizmann.ac.il/sci-tea/benari/sites/sci-tea.benari/files/uploads/softwareAndLearningMaterials/circle-he.pdf איך לרבע את המעגל (בערך)], 2017

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:בנייה בסרגל ובמחוגה]]
[[קטגוריה:בעיות לא פתירות במתמטיקה]]
[[קטגוריה:יוון העתיקה: מדע ומתמטיקה]]