הצגת המקור של הדף "הלמה של בורל-קנטלי"

{{סימון מתמטי}}

'''הלמה של בורל-קנטלי''' הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים ב[[תורת ההסתברות]], שנוסחו והוכחו על ידי [[אמיל בורל]] ו[[פרנצ'סקו פאולו קנטלי]] בראשית [[המאה ה-20]].{{הערה|E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" ''Rend. Circ. Mat. Palermo'' (2) '''27''' (1909) pp. 247–271.}}{{הערה|F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", ''Atti Accad. Naz. Lincei'' 26:1 (1917) pp.39–45.}} המשפטים עוסקים בסדרת [[מאורע]]ות [[קבוצה בת-מנייה|בת-מניה]], וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים [[אינסוף]] מתוך מאורעות הסדרה.

==נוסח פורמלי==

יהי <math>(X,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> [[מרחב הסתברות]], ותהי <math>\left\{A_i\right\}_{i=1}^{\infty}</math> סדרה של [[מאורע]]ות.

נתבונן במאורע הבא, <math display="block">\left\{\text{infinitely many of the } A_i \text{ occur} \right\} = \limsup_{i}\left(A_i\right) = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}A_i</math>.

===הלמה הראשונה של בורל-קנטלי===

אם מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_i\right) < \infty</math>, אז <math>\mathbb{P}\left(\limsup_{i}\left(A_i\right)\right) = 0</math>

===הלמה השנייה של בורל-קנטלי===

נניח כי המאורעות כולם [[תלות (הסתברות)|בלתי-תלויים]].{{הערה|כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית <math>i_1,...,i_k</math>, לכל קבוצת מאורעות <math>A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}</math>, מתקיים כי <math>\mathbb{P}\left(X_{i_{1}} \in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}} \in A_{i_{k}}\right) = \mathbb{P}\left(X_{i_{1}} \in A_{i_{1}}\right)\cdot...\cdot\mathbb{P}\left(X_{i_{k}} \in A_{i_{k}}\right)</math>.}} אם מתקיים כי 
<math>\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_i\right) = \infty</math>, אז <math>\mathbb{P}\left(\limsup_{i}A_i\right) = 1</math>.

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע <math>\limsup_{i}\left(A_i\right)</math> הוא [[מאורע זנב]], נובע מ[[חוק האפס-אחד של קולמוגורוב]] כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

'''הערה:''' למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

===הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות===

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר <math>A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset ...</math>. נשים לב כי במקרה זה, <math>\limsup_i\left(A_i\right) = \left\{\exists_j, A_j \text{ occures} \right\}</math>. אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, [[אם ורק אם]] קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים <math>\left\{i_k\right\}_{k=1}^{\infty}</math> שעבורה <math>\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_{i_{k+1}} \mid A_{i_{k}}^{c}\right) = \infty</math>.

==הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה==

הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות <math>A_n = \left[0,\frac{1}{n}\right]</math> במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על <math>\left[0,1\right]</math>. מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן <math>\ A_i</math> גורר את <math>\ A_j</math> לכל <math>i<j</math>. ואכן, למרות שמתקיים <math>\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i} = \infty</math>, עדיין <math>\mathbb{P}\left(\limsup_i\left(A_i\right)\right) = \mathbb{P}\left(\left\{0\right\}\right) = 0</math>.

==ראו גם==
* [[משפט הקוף המקליד]] - [[מקרה פרטי]] של הלמה של בורל קנטלי
* [[מספר נורמלי]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:חוקי אפס-אחד|בורל-קנטלי]]