הצגת המקור של הדף "הנחת אוילר-ברנולי"

'''הנחת אוילר-ברנולי''', הנקראת על שם [[דניאל ברנולי]] ו[[לאונרד אוילר]], היא הנחה [[פיזיקה|פיזיקלית]] הטוענת כי ב[[כפיפה]] סימטרית של [[קורה (מבנה)|קורות]], חתך מישורי וניצב לציר הקורה לפני הכפיפה יישאר מישורי וניצב לציר הקורה גם בעת הכפיפה.

הנחה זו תקפה אם אורך הקורה גדול משמעותית מרוחבה. תאונה של מטוס בואינג התרחשה מכיוון שתנאי זה לא התקיים: פין החיזוק של אחד המנועים נסדק וגרם לנפילת המנוע. חקירה בנושא העלתה כי השימוש בהנחה היה מוטעה מכיוון שיחס ממדי הפין היו 1:1.5.

בתורת הכפיפה של לוחות, הנחה מקבילה לתנאי ברנולי-אוילר היא הנחת קירכהוף-לאב (Love).

[[תמונה:Euler-Bernoulli beam theory.png|שמאל|350px]]

להלן פיתוח משוואת אוילר-ברנולי, כמתואר באיור.

העיבור בציר c-c יחסית לציר הנייטרלי הוא:
:<math>\ dx=\rho d\theta\ \Rightarrow\qquad \epsilon_{x,cc}= \epsilon_{x,y}= \frac{(\rho-h)d\theta-\rho d\theta}{\rho d\theta}= -{y\over\rho}</math>
מ[[חוק הוק]]:
:<math>\ \epsilon_x= {\sigma_x\over E}- {\nu\sigma_y\over E}- {\nu\sigma_z\over E}</math>
המאמצים בכיוונים y,z זניחים יחסית למאמץ בכיוון x ולכן:
:<math>\ \sigma_x\approx E\epsilon_x= -{Ey \over\rho}</math>
נגדיר את המומנט ואת כיוונו יחסית לציר הנייטרלי:
:<math>\ M(x)= -\int_A y\sigma_xdA= {E\over\rho}\int_A y^2dA = {EI\over\rho}</math>
אם נציב תוצאה זו בחוק הוק נקבל:
:<math>\ \sigma_x=-{My\over I}</math>
כלומר כאשר הקורה אחידה, המאמץ עקב כפיפה לא תלוי בחומר.

כעת נרצה למצוא את משוואת השקיעה w של הקורה. נשתמש בקשרים שקיבלנו על מנת לבטא את העקמומיות המקומית של הקורה:
:<math>\ {1\over\rho}={M\over EI}</math>
באמצעות גאומטריה דיפרנציאלית ניתן להראות כי מתקיים:
:<math>\ {1\over\rho(x)}= \frac{w''(x)}{\left(1+[w'(x)]^2\right)^{3/2}}</math>
כאשר מדובר בדפורמציות קטנות, ניתן להניח <math>\ [w'(x)]^2\ll 1</math> ואז:
:<math>\ {1\over\rho}={M\over EI}=w''(x)</math>

{{מאמץ (הנדסה)}}

== ראו גם ==
* [[חוק הוק]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

{{בקרת זהויות}}

{{קצרמר|פיזיקה}}

[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]