הנחת אוילר-ברנולי

הנחת אוילר-ברנולי, הנקראת על שם דניאל ברנולי ולאונרד אוילר, היא הנחה פיזיקלית הטוענת כי בכפיפה סימטרית של קורות, חתך מישורי וניצב לציר הקורה לפני הכפיפה יישאר מישורי וניצב לציר הקורה גם בעת הכפיפה.

הנחה זו תקפה אם אורך הקורה גדול משמעותית מרוחבה. תאונה של מטוס בואינג התרחשה מכיוון שתנאי זה לא התקיים: פין החיזוק של אחד המנועים נסדק וגרם לנפילת המנוע. חקירה בנושא העלתה כי השימוש בהנחה היה מוטעה מכיוון שיחס ממדי הפין היו 1:1.5.

בתורת הכפיפה של לוחות, הנחה מקבילה לתנאי ברנולי-אוילר היא הנחת קירכהוף-לאב (Love).

להלן פיתוח משוואת אוילר-ברנולי, כמתואר באיור.

העיבור בציר c-c יחסית לציר הנייטרלי הוא:

$dx=\rho d\theta \Rightarrow {ϵ}_{x,cc}={ϵ}_{x,y}=\frac{(\rho -h)d\theta -\rho d\theta }{\rho d\theta }=-\frac{y}{\rho }$

מחוק הוק:

${ϵ}_x=\frac{{\sigma }_x}{E}-\frac{\nu {\sigma }_y}{E}-\frac{\nu {\sigma }_z}{E}$

המאמצים בכיוונים y,z זניחים יחסית למאמץ בכיוון x ולכן:

${\sigma }_x\approx E{ϵ}_x=-\frac{Ey}{\rho }$

נגדיר את המומנט ואת כיוונו יחסית לציר הנייטרלי:

$M(x)=-\underset{A}{\int }y{\sigma }_{x}dA=\frac{E}{\rho }\underset{A}{\int }{y}^{2}dA=\frac{EI}{\rho }$

אם נציב תוצאה זו בחוק הוק נקבל:

${\sigma }_x=-\frac{My}{I}$

כלומר כאשר הקורה אחידה, המאמץ עקב כפיפה לא תלוי בחומר.

כעת נרצה למצוא את משוואת השקיעה w של הקורה. נשתמש בקשרים שקיבלנו על מנת לבטא את העקמומיות המקומית של הקורה:

$\frac{1}{\rho }=\frac{M}{EI}$

באמצעות גאומטריה דיפרנציאלית ניתן להראות כי מתקיים:

$\frac{1}{\rho (x)}=\frac{w^{″}(x)}{{(1+[w^{\prime }(x){]}^2)}^{3/2}}$

כאשר מדובר בדפורמציות קטנות, ניתן להניח $[w^{\prime }(x){]}^2\ll 1$ ואז:

$\frac{1}{\rho }=\frac{M}{EI}=w^{″}(x)$

ראו גם

• חוק הוק