הצגת המקור של הדף "השערת גולדבך החלשה"

{{פירוש נוסף|אחר=מבחן התכנסות|ראו=מבחן דיריכלה}}
{{חומר רקע|
* [[מספר ראשוני]]
* [[סימון מתמטי]]
}}
[[קובץ:Number of the ways to write an odd number up to a million as a sum of 3 primes.png|350px|ממוזער|שמאל|[[גרף (נתונים)|גרף]] המציג את מספר הדרכים שבהן אפשר להציג [[מספר זוגי|מספרים אי־זוגיים]] עד [[מיליון]] כסכום של שלושה [[מספר ראשוני|ראשוניים]], ההשערה טוענת שגרף זה לעולם לא ייגע בציר ה־x (אחרי 5).]]
'''הגרסה החלשה של השערת גולדבך''' (נקראת גם '''השערת גולדבך האי־זוגית''', '''השערת גולדבך המשולשת''', '''בעיית שלושת הראשוניים''' ו'''השערת גולדבך החלשה''') היא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[תורת המספרים]], שלפיו כל [[מספר זוגי|מספר אי־זוגי]] שגדול מ־5 הוא [[סכום]] של שלושה [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]]. ההשערה הופיעה בהתכתבות בין [[כריסטיאן גולדבך]] ל[[לאונרד אוילר]] ב־1742, יחד עם [[השערת גולדבך]] הרגילה. ההתקדמות המהותית הראשונה לעבר הוכחת ההשערה נעשתה ב־[[1922]] על ידי [[גודפרי הרולד הארדי|הארדי]] ו[[ג'והן אדנסור ליטלווד|ליטלווד]]. ב־[[1937]] הוכיח [[איוואן וינוגרדוב]] כי ההשערה מתקיימת עבור מספרים שגדולים מקבוע מסוים <math>C</math>. לאחר מכן מתמטיקאים רבים שיפרו את ה[[חסם (מתמטיקה)|חסמים]] על הקבוע, עד שלבסוף ב־[[2013]] הצליח [[הראלד הלפגוט]] לסגור את הפער בין החסם התאורטי לגבולות הבדיקה החישובית, ולהוכיח בכך את ההשערה.

השערת גולדבך החלשה נקראת כך כי קל להסיק אותה מ[[השערת גולדבך]], שאומרת שכל [[מספר זוגי]] שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים. למעשה השערת גולדבך שקולה לטענה שכל [[מספר טבעי]] שגדול מ־5 הוא סכום של 3 ראשוניים. מהשערת גולדבך החלשה נובע שכל מספר טבעי שגדול מ־7 הוא סכום של 4 ראשוניים.

==קשר להשערות אחרות==
השערת גולדבך החלשה נובעת מ[[השערת גולדבך]] הרגילה, האומרת שכל [[מספר זוגי]] שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים. ואומנם אם <math>n</math> מספר אי־זוגי שגדול מ־5 אז <math>n-3</math> הוא מספר זוגי שגדול מ־2 ולכן אם השערת גולדבך תקפה אז <math>n-3=p+q</math> עבור <math>p</math> ו־<math>q</math> ראשוניים ומכאן ש <math>n=p+q+3</math>.

באופן דומה קל להראות שהשערת גולדבך החלשה גוררת שכל מספר זוגי שגדול מ־6 הוא סכום של ארבעה ראשוניים (שהרי 8=2+2+2+2 וכל מספר זוגי שגדול יותר אפשר להציג בצורה 3+a כאשר a אי־זוגי שגדול מ־5).

הן הגרסה החלשה והן הגרסה החזקה של השערת גולדבך קשורות ל[[קבוע שנירלמן]], שהוא המספר <math>k</math> הקטן ביותר כך שכל מספר טבעי שגדול מ־1 הוא סכום של לא יותר מ־<math>k</math> ראשוניים. הקבוע נקרא על שם [[לב שנירלמן]], שהוכיח (באמצעות [[צפיפות שנירלמן]]) שקיים קבוע כזה.{{הערה|Schnirelmann, L.G. (1933). "Über additive Eigenschaften von Zahlen". Math. Ann. . 107: 649–690. doi:10.1007/BF01448914. Zbl 0006.10402.}} לאחר הוכחתו של שנירלמן, מתמטיקאים רבים שיפרו את הקבוע. השערת גולדבך החלשה גוררת שקבוע שנירלמן לא עולה על 4. עד הוכחתו של הלפגוט החסם הטוב ביותר על קבוע שנירלמן היה 6 ([[טרנס טאו|טאו]] [[2012]]{{הערה|[[טרנס טאו]] [https://arxiv.org/abs/1201.6656 Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes]}}) השערת גולדבך עצמה גוררת שקבוע שנירלמן שווה ל־3. ברור שקבוע שנירלמן לא יכול להיות קטן מ־3.

ישנה גרסה מעט חזקה יותר של השערת גולדבך החלשה, הטוענת כי כל מספר אי־זוגי שגדול מ־7 הוא סכום של 3 מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הוכחתו של הלפגוט תקפה גם עבור גרסה זו.

==היסטוריה==
[[קובץ:Letter_Goldbach-Euler.jpg|200px|ממוזער|שמאל|המכתב ששלח [[כריסטיאן גולדבך|גולדבך]] ל[[לאונרד אוילר|אוילר]] שעל בסיסו נוסחה ההשערה בשנת [[1742]]]]
[[קובץ:Leonhard_Euler_2.jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[לאונרד אוילר]]]]
{{תמונות מרובות
 | יישור = שמאל
 | סיומת = [[גודפרי הרולד הארדי]] ו[[ג'ון אדנזור ליטלווד]]. הוכיחו ב־[[1922]] שההשערה תקפה למספרים [[גדול מספיק|גדולים מספיק]] בהנחת [[השערת רימן]] [[השערת רימן המוכללת|המוכללת]].
 | רוחב = 125

 | תמונה1 = Ghhardy@72.jpg
 | חלופי1 = הארדי

 | תמונה2 = John_Edensor_Littlewood.jpg
 | חלופי2 = ליטלווד
}}
[[קובץ:I_vinogradov.jpg|150px|ממוזער|שמאל|[[איוואן וינוגרדוב]], הוכיח ב־[[1937]] שההשערה תקפה למספרים [[גדול מספיק|גדולים מספיק]] ללא הנחות נוספות {{תמונה להחלפה}}]]
[[קובץ:Harald_Helfgott_(mathematician).jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[הראלד הלפגוט]], השלים בשנת [[2013]] את הוכחת ההשערה]]
===ניסוח ההשערה===
מקור הטענה במכתב ששלח [[כריסטיאן גולדבך]] ל[[לאונרד אוילר]] ב־[[1742]], ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל [[מספר שלם]] כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני). במכתב התשובה ציטט אוילר [[השערת גולדבך|השערה אחרת של גולדבך]], שעל־פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל [[מספר זוגי]] כסכום של שני מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי־זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי.

הבעיה תוארה על ידי [[אדמונד לנדאו]] ב־[[1912]] כ"בלתי ניתנת להשגה".{{הערה|E. Landau. Geloste und ungeloste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion. In Proceedings of the fifth Itnernational Congress of Mathematicians, volume 1, pages 93–108. Cambridge, 1912}}
ב־[[1925]] נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת [[מכון איינשטיין למתמטיקה]] ב[[האוניברסיטה העברית|אוניברסיטה העברית]].{{הערה|אדמונד לנדאו. "שאלות פתוחות וסתומות בתורת המספרים האלמנטרית" “Open and Closed Problems in the Elementary Theory of Numbers”. https://www.imu.org.il/history-of-mathematics-in-israel}}

===הוכחת ההשערה למספרים גדולים בהינתן השערת רימן המוכללת===
ב־[[1922]] הוכיחו [[גודפרי הרולד הארדי|הארדי]] ו[[ג'והן אדנסור ליטלווד|ליטלווד]] שאם מניחים את [[השערת רימן המוכללת]], אפשר להציג כל מספר אי־זוגי [[גדול מספיק]] כסכום של שלושה ראשוניים.{{הערה|שם=הל|G. H. Hardy and J. E. Littlewood. Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math., 44(1):1–70, 1922.}} ההוכחה של הארדי וליטלווד לא נתנה חסם מפורש למספר שממנו ההשערה נכונה. עם זאת ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם מניב את החסם <math>1.24\cdot 10^{50}</math>.{{הערה| G. Effinger. Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999}}

===הוכחת ההשערה למספרים גדולים ללא תנאים===
[[איוואן וינוגרדוב]] הצליח להסיר את הנחת השערת רימן המוכללת ב־[[1937]].{{הערה|שם=ונ|I. M. Vinogradov. Representation of an odd number as a sum of three primes. Dokl. Akad. Nauk. SSR, 15:291–294, 1937.}}{{הערה|Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated, revised and annotated by K. F. Roth and Anne Davenport. London and New York: Interscience. MR 0062183.}} ההוכחה של וינוגרדוב לא נתנה חסם לערך שאחריו ההשערה נכונה. תלמידו של וינוגרדוב, קונסטנטין בורוזדקין (Borozdkin), הצליח לתת כזה חסם ב־[[1939]].{{הערה|שם=בור1|לפי N. G. Chudakov. Introduction to the theory of Dirichlet L-functions. OGIZ, Moscow-Leningrad, 1947}} החסם עמד על <math>e^{e^{e^{41.96}}}</math>.

===שיפור החסם על המספר ממנו ההשערה נכונה===
ב־[[1956]] שיפר בורוזדקין את הערך ל <math>e^{e^{16.038}}</math>.{{הערה|שם=בור2|התוצאה הוצהרה ב-K. G. Borodzkin. On the problem of I. M. Vinogradov’s constant (in Russian). In Proc. Third All-Union Math. Conf., volume 1, page 3. Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 1956. ללא הוכחה}}
החסם שופר ל־<math>e^{e^{11.503}} \approx 3.33\cdot 10^{43000}</math>{{כ}} (Chen-Wang, 1989){{הערה|שם=צו89|J. R. Chen and T. Z. Wang, On odd Goldbach problem, Acta Math. Sinica 32 (1989), 702–718}} ושוב ל־<math>e^{e^{9.715}} \approx 6\cdot 10^{7193}</math>{{כ}} (Chen-Wang, 1996).{{הערה|שם=צו96|J. R. Chen and T. Z. Wang. The Goldbach problem for odd numbers. Acta Math. Sinica (Chin. Ser.), 39(2):169–174, 1996.}} ב־[[2002]] שופר החסם ל־<math>e^{3100}\approx 2 \cdot 10^{1346}</math>{{כ}} על ידי Liu-Wang,{{הערה|שם=לו02|M.-Ch. Liu and T. Wang. On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture. Acta Arith., 105(2):133–175, 2002.}} אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול.

===הוכחת ההשערה בהינתן השערת רימן המוכללת===
ב־[[1997]] הצליחו דשוילארס, אפינגר, רילה וזינובייב לסגור את הפער אם מניחים את [[השערת רימן המוכללת]]:{{הערה|J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:99–104, 1997.}} זינובייב הוריד את החסם ל<math>10^{20}</math> (בהנחת השערת רימן).{{הערה|Dmitrii Zinoviev, On Vinogradov's Constant in Goldbach's Ternary Problem}} לאחר מכן דשוילארס ורילה בדקו בעזרת מחשב את השערת גולדבך הרגילה עד <math>10^{13}</math> וארבעתם הסיקו מהבדיקה הזאת (שוב בהנחת [[השערת רימן]]) את נכונות השערת גולדבך החלשה עד <math>10^{20}</math>. בשנת [[1998]] חזר Yannick Saouter על הסקת נכונות השערת גולדבך החלשה עד <math>10^{20}</math> ללא שימוש ב[[השערת רימן]].

===הוכחת ההשערה===
בשנים [[2012]] ו־[[2013]] הוכיח [[הראלד הלפגוט]] את השערת גולדבך החלשה בשלושה מאמרים. ההוכחה התבססה בין היתר על [[הוכחה בעזרת מחשב|חישוב]] שביצע יחד עם [[דוד פלאט|פלאט]] באותו הזמן.

שני המאמרים הראשונים הוקדשו לשיפור החסמים הנחוצים להוכחה.{{הערה|Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". http://arxiv.org/abs/1205.5252}}{{הערה|Helfgott, H.A. (2012). "Major arcs for Goldbach's theorem". http://arxiv.org/abs/1305.2897}} מאמרים אלו לא התבססו על השערת רימן. שיפור החסמים התאפשר בין היתר בזכות בדיקה ממוחשבת של השערת רימן המוכללת (עבור מספר סופי של [[פונקציית זטא|פונקציות זטא]]) עד לגובה מסוים ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]].{{הערה|D. Platt. Computing degree 1 L-functions rigorously. PhD thesis, Bristol University, 2011.}}
בשנת 2013 בדקו הלפגוט ופלאט את תקפותה של השערת גולדבך החלשה עד <math>10^{30}</math>.{{הערה|H. A. Helfgott and David J. Platt. Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to 8.875 · 1030. Exp. Math., 22(4):406–409, 2013.}}
הם השתמשו בשיטה דומה לשיטתו של Saouter לבדיקה של השערת גולדבך החלשה עד <math>10^{20}</math>. במאמר האחרון{{הערה|H. A. Helfgott. The Ternary Goldbach Conjecture is true. Preprint. Available as arXiv:1312.7748.}} הוכיח הלפגוט את ההשערה למספרים שגדולים מ־<math>10^{29}</math> (בגרסה של המאמר מ-2014 החסם שופר ל <math>10^{27}</math>) ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סגר את ההשערה באופן מלא. בנספח למאמר זה מתאר הלפגוט שיטה נוספת לבדיקת ההשערה עד <math>10^{27}</math>. שיטה זו התבססה על מאמר חישובי אחר{{הערה|D. Platt. Computing π(x) analytically. To appear in Math. Comp.. Available as arXiv:1203.5712.}} של פלאט שנכתב באותו הזמן.{{הערה|למעשה היו עבודות חישוביות קודמות שגם התאימו למטרה זאת, אולם הלפגוט בחר את עבודתו של פלאט כי ראה בה כיותר אמינה|כיוון=ימין}}

===טבלה עם תוצאות היסטוריות ===
להלן טבלה המסכמת את התוצאות המיטביות הנוגעות לבעיה במהלך השנים. הטבלה מבוססת על סקירה היסטורית בספרו של הלפגוט. ייתכנו תוצאת היסטוריות שלא מופיעות בה.

====מקרא====
* {{צבע גופן|אדום|התוצאות מותנות בהשערת רימן המוכללת.}}{{הערה|שם=רמ|בעמודה השנייה מספיקה השערת רימן הקלאסית}}
* התוצאות '''המודגשות''' בכל שורה הן אלה שהוכחו בשנה המתאימה. היתר הועתקו לצורך השוואה.
* {{צבע גופן|ירוק|תוצאות שלא פורסמו באופן מלא.}}
* {{צבע גופן|כתום|תוצאות מותנות בהשערת רימן המוכללת שלא פורסמו באופן מלא.}}{{הערה|שם=רמ}}
* {{צבע גופן|כחול|תוצאות שלא פורסמו אך ניתן היה להסיקן בקלות מתוצאות שהיו ידועות באותה עת.}}
* {{צבע גופן|מג'נטה|תוצאות שלא פורסמו אך ניתן היה להסיקן בקלות מתוצאות שהיו ידועות באותה עת בהסתמך עלֹ השערת רימן המוכללת.}}{{הערה|שם=רמ}}
{|class="wikitable" align="center" cellpadding="4"
|-
!שנה!! קבוע <math>C</math> ממנו הוכחה ההשערה בכלים אנליטיים !! קבוע <math>C</math> עד אליו נבדקה ההשערה על ידי חישוב ועל ידי הערכות עלֹ התפלגות הראשוניים!! קבוע <math>M</math> עד אליו נבדקה השערת גולדבך הרגילה !! חסם מלעיל על קבוע שנירלמן
|-
|1855
|<math></math>
|<math>\color{blue}{\mathbf{10^6}}</math>{{הערה|שם=ט|ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה ומ[http://primes.utm.edu/glossary/xpage/TablesOfPrimes.html טבלאות הראשוניים שהיו זמינות באותה עת].}}
|<math>\color{green}{\mathbf{10^4}}</math>{{הערה|Desboves, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math></math>
|-
|1896
|<math></math>
|<math>\color{blue}{{10^6}}</math>
|<math>{\mathbf{10^4}}</math>{{הערה|Haussner, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math></math>
|-
|1922
|<math></math>;<math>\color{red}{\boldsymbol{<\infty}}</math>;<math>\color{magenta}{\mathbf{1.24\cdot 10^{50}}}</math>{{הערה|המאמר המקורי של הארדי וליטלווד לא מציין חסם מפורש, אולם ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם שנעשה ב-G. Effinger. Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 מקבל תוצאה זאת}}
|<math>\color{blue}{{10^6}}</math>
|<math>{10^4}</math>
|<math>\color{magenta}{\mathbf{151}}</math>{{הערה|קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות [[השערת ברטראן]]|כיוון=ימין}}
|-
|1926
|<math></math>; <math>\color{red}{{<\infty}}</math>; <math>\color{orange}{\mathbf{10^{32}}}</math>{{הערה|לפי . Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 ב. לוק (תלמידו של לנדאו) קיבל תוצאה זאת בתזת הדוקטורט שלו.}}
|<math>\color{blue}{{10^6}}</math>
|<math>{10^4}</math>
|<math>{\color{magenta}{\mathbf{91}}}</math>
|-
|1933
|<math></math>;<math>\color{red}{{<\infty}}</math>;<math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{10^6}}</math>
|<math>{10^4}</math>
|<math>\boldsymbol{<\infty}</math>; <math>{\color{magenta}{{91}}}</math>
|-
|1937
|<math>\boldsymbol{<\infty}</math>;{{הערה|שם=ונ}} <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{10^6}}</math>
|<math>{10^4}</math>
|<math>{<\infty}</math>;<math>{\color{magenta}{{91}}}</math>
|-
|1939
|<math><\infty</math>; <math>\color{green}{\mathbf{e^{e^{e^{41.96}}}\approx 10^{10^{10^{17.86}}}}}</math>;{{הערה|שם=בור1}}<math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{10^6}}</math>
|<math>{10^4}</math>
|<math>{<\infty}</math>;<math>\color{blue}{\mathbf{ {10^{10^{17.87}}}}}</math>; <math>{\color{magenta}{{91}}}</math>
|-
|1940
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{e^{41.96}}}\approx 10^{10^{10^{17.86}}}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{\mathbf{10^7}}</math>{{הערה|שם=ט}}
|<math>\mathbf{10^5}</math>{{הערה|Pipping, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>{<\infty}</math>; <math>\color{blue}{{ {10^{10^{17.87}}}}}</math>; <math>{\color{magenta}{\mathbf{88}}}</math>
|-
|1952
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{e^{41.96}}}\approx 10^{10^{10^{17.86}}}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{10^7}}</math>{{הערה|שם=ט}}
|<math>{10^5}</math>{{הערה|Pipping, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>{<\infty}</math>; <math>\color{blue}{{ {10^{10^{17.87}}}}}</math>; <math>{\color{magenta}{\mathbf{37}}}</math>{{הערה|קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות [https://projecteuclid.org/euclid.pja/1195570997 משפט של Nagura] מ־1952}}
|-
|1956
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{\mathbf{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{10^7}}</math>
|<math>10^5</math>
|<math>{<\infty}</math>; <math>\color{blue}{\mathbf{5151513}}</math>; <math>{\color{magenta}{{37}}}</math>
|-
|1964
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{\mathbf{1.8\cdot10^8}}</math>{{הערה|שם=נאג52|ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה ומ[https://projecteuclid.org/euclid.pja/1195570997 משפט של Nagura] מ־1952.}}
|<math>\mathbf{3.3\cdot10^7}</math>{{הערה|Shen, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>{<\infty}</math>; <math>\color{blue}{\mathbf{5151511}}</math>; <math>{\color{magenta}{\mathbf{35}}}</math>
|-
|1965
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{\mathbf{6\cdot10^8}}</math>{{הערה|שם=נאג52}}
|<math>\mathbf{10^8}</math>{{הערה|Stein ו-Stein, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>{<\infty}</math>; <math>\color{blue}{{5151511}}</math>; <math>{\color{magenta}{\mathbf{34}}}</math>
|-
|1969
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{6\cdot10^8}}</math>
|<math>{10^8}</math>
|<math>\mathbf{6\cdot 10^9}</math>{{הערה|שם=קלימוב|הוכח על ידי Klimov. כך לפי [https://arxiv.org/pdf/1501.05438.pdf הלפגוט]}}; <math>\color{blue}{{5151511}}</math>; <math>{\color{magenta}{{34}}}</math>
|-
|1972
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{6\cdot10^8}}</math>
|<math>{10^8}</math>
|<math>\mathbf{115}</math>{{הערה|הוכח על ידי Klimov, G. Z. Piltay ו־T. A. Sheptickaja. כך לפי [https://arxiv.org/pdf/1501.05438.pdf הלפגוט]}}; <math>{\color{magenta}{{34}}}</math>
|-
|1975
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{6\cdot10^8}}</math>
|<math>{10^8}</math>
|<math>\mathbf{55}</math>{{הערה|שם=קלימוב}}; <math>{\color{magenta}{{34}}}</math>
|-
|1976
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{\mathbf{1.65\cdot 10^{12}}}</math>{{הערה|שם=שונ76}}; <math>\color{magenta}\mathbf{{2.69\cdot 10^{12}}}</math>{{הערה|שם=שונ76רימ|ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x)". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 10. בהינתן השערת רימן}}
|<math>{10^8}</math>
|<math>{55}</math>; <math>{\color{magenta}{\mathbf{6}}}</math>{{הערה|קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות משפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x)". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 10. בהינתן השערת רימן.}}
|-
|1977
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{1.65\cdot 10^{12}}}</math>; <math>\color{magenta}{{2.69\cdot 10^{12}}}</math>
|<math>{10^8}</math>
|<math>\mathbf{27}</math>,{{הערה|R. C. Vaughan. On the estimation of Schnirelman’s constant. J. Reine Angew. Math., 290:93–108, 1977.}}<math>\mathbf{26}</math>{{הערה|J.-M. Deshouillers. Sur la constante de Snirel ˇ 0man. In Seminaire ´ Delange-Pisot-Poitou, 17e annee: (1975/76), Th ´ eorie des nombres: ´ Fac. 2, Exp. No. G16, page 6. Secretariat Math., Paris, 1977.}}; <math>{\color{magenta}{{6}}}</math>
|-
|1983
|<math><\infty</math>;<math>\color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{1.65\cdot 10^{12}}}</math>; <math>\color{magenta}{{2.69\cdot 10^{12}}}</math>
|<math>{10^8}</math>
|<math>\mathbf{19}</math>{{הערה|H. Riesel and R. C. Vaughan. On sums of primes. Ark. Mat., 21(1):46–74, 1983.}}; <math>{\color{magenta}{{6}}}</math>
|-
|1989
|<math>\mathbf{e^{e^{11.503}} \approx 3.33\cdot 10^{43000}}</math>;{{הערה|שם=צו89}} <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{\mathbf{3.31\cdot 10^{14}}}</math>{{הערה|שם=שונ76|ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x), II". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 12.}}; <math>\color{magenta}\mathbf{{3.31\cdot 10^{16}}}</math>{{הערה|שם=שונ76רימ}}
|<math>\mathbf{2\cdot 10^{10}}</math>{{הערה|Granville, Van de Lune, and te Riele, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>{19}</math>; <math>{\color{magenta}{{6}}}</math>
|-
|1993
|
<math>{e^{e^{11.503}} \approx 3.33\cdot 10^{43000}}</math>;
<math>\color{red}{\mathbf{e^{114}\approx 3.24\cdot 10^{49}}}</math>;{{הערה|T.Z. Wang and J.R. Chen, On odd Goldbach problem under general Riemann hypothesis, Sci. China Ser. A 36 (1993)}}
<math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{\mathbf{6.63\cdot 10^{15}}}</math>{{הערה|שם=שונ76}}; <math>\color{magenta}\mathbf{{7.58\cdot 10^{18}}}</math>{{הערה|שם=שונ76רימ}}
|<math>\mathbf{4\cdot 10^{11}}</math>{{הערה|Sinisalo, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>{19}</math>; <math>{\color{magenta}{\mathbf{5}}}</math>
|-
|1995
|
<math>{e^{e^{11.503}} \approx 3.33\cdot 10^{43000}}</math>;
<math>\color{red}{{e^{114}\approx 3.24\cdot 10^{49}}}</math>;
<math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{6.63\cdot 10^{15}}}</math>; <math>\color{magenta}{{7.58\cdot 10^{18}}}</math>
|<math>{4\cdot 10^{11}}</math>
|<math>\mathbf{7}</math>{{הערה|O. Ramare. On ´ Snirel ˇ 0man’s constant. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 22(4):645–706, 1995.}}; <math>{\color{magenta}{{5}}}</math>
|-
|1996
|<math>\mathbf{e^{e^{9.715}} \approx 6\cdot 10^{7193}}</math>;{{הערה|שם=צו96}} <math>\color{red}{{e^{114}\approx 3.24\cdot 10^{49}}}</math>; <math>\color{orange}{{10^{32}}}</math>
|<math>\color{blue}{{6.63\cdot 10^{15}}}</math>; <math>\color{magenta}{7.58\cdot 10^{18}}</math>
|<math>{4\cdot 10^{11}}</math>
|<math>{7}</math>; <math>{\color{magenta}{{5}}}</math>
|-
|1997
|<math>{e^{e^{9.715}} \approx 6\cdot 10^{7193}}</math>; <math>\color{red}{\mathbf{{10^{20}}}}</math>{{הערה|שם=זינ97|D. Zinoviev. On Vinogradov’s constant in Goldbach’s ternary problem. J. Number Theory, 65(2):334–358, 1997.}}
|<math>\color{blue}{\mathbf{1.65\cdot 10^{17}}}</math>;{{הערה|שם=שונ76רימ}} <math>\color{red}{\mathbf{{10^{20}}}}</math>{{הערה|שם=דארז97|J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:99–104, 1997.}}
|<math>{\mathbf{10^{13}}}</math>{{הערה|שם=דארז97}}
|<math>{7}</math>; <math>{\color{red}{\mathbf{4}}}</math>
|-
|1998
|<math>{e^{e^{9.715}} \approx 6\cdot 10^{7193}}</math>; <math>\color{red}{{{10^{20}}}}</math>
|<math>\mathbf{10^{20}}</math>{{הערה|שם=הלפגוטופלאט|הלפגוט ופלאט [https://arxiv.org/pdf/1305.3062.pdf Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to <math>{8.875\cdot 10^{30}}</math>]}}; <math>\color{magenta}\mathbf{{2\cdot 10^{23}}}</math>{{הערה|שם=שונ76רימ}}
|<math>\mathbf{10^{14}}</math>{{הערה|Deshouillers, te Riele, and Saouter, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>{7}</math>; <math>{\color{red}{{4}}}</math>
|-
|2001
|<math>{e^{e^{9.715}} \approx 6\cdot 10^{7193}}</math>; <math>\color{red}{{{10^{20}}}}</math>
|<math>{10^{20}}</math>; <math>\color{magenta}\mathbf{{2.7\cdot 10^{24}}}</math>{{הערה|שם=שונ76רימ}}
|<math>\mathbf{4\cdot 10^{14}}</math>{{הערה|Richstein, ראו הטבלה ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>{7}</math>; <math>{\color{red}{{4}}}</math>
|-
|2002
|<math>\mathbf{e^{3100}\approx 2 \cdot 10^{1346}}</math>;{{הערה|שם=לו02}} <math>\color{red}{{10^{20}}}</math>
|<math>{10^{20}}</math>; <math>\color{magenta}{{2.7\cdot 10^{24}}}</math>
|<math>{4\cdot 10^{14}}</math>
|<math>{7}</math>; <math>{\color{red}{{4}}}</math>
|-
|2003
|<math>{e^{3100}\approx 2 \cdot 10^{1346}}</math>; <math>\color{red}{{10^{20}}}</math>
|<math>\mathbf{8.37\cdot 10^{26}}</math>{{הערה|שם=הלפגוטופלאט}};
|<math>{4\cdot 10^{14}}</math>
|<math>{7}</math>; <math>{\color{red}{{4}}}</math>
|-
|2012
|<math>{e^{3100}\approx 2 \cdot 10^{1346}}</math>; <math>\color{red}{{10^{20}}}</math>
|<math>\mathbf{5.9\cdot 10^{29}}</math>{{הערה|שם=הלפגוטופלאט}}; <math>\color{magenta}\mathbf{{8.9\cdot 10^{31}}}</math>{{הערה|שם=שונ76רימ}}
|<math>\mathbf{4\cdot 10^{18}}</math>{{הערה|Oliveira e Silva, Herzog, and Pardi ב-[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-288/S0025-5718-2013-02787-1/ Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot 10^{18}</math>]}}
|<math>\mathbf{6}</math>{{הערה|T. Tao. Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes. Math. Comp., 83(286):997–1038, 2014.}}; <math>{\color{red}{{4}}}</math>
|-
|2013
|<math>\mathbf{10^{29}}</math>; <math>\color{red}{{10^{20}}}</math>
|<math>{\mathbf{8.87\cdot 10^{30}}}</math>{{הערה|שם=הלפגוטופלאט}}; <math>\color{magenta}{{8.9\cdot 10^{31}}}</math>
|<math>4\cdot 10^{18}</math>
|<math>\mathbf{4}</math>
|-
|סוף 2013
|<math>\mathbf{10^{27}}</math>; <math>\color{red}{{10^{20}}}</math>
|<math>{{8.87\cdot 10^{30}}}</math>; <math>\color{magenta}{{8.9\cdot 10^{31}}}</math>
|<math>4\cdot 10^{18}</math>
|<math>4</math>
|}

====גרפים====
הגרפים הבאים מסכמים את התוצאות שבטבלה:
[[קובץ:History of the prove of the Goldbach's weak conjecture.png|700px|ממוזער|מרכז|ההיסטוריה של הוכחת ההשערה ללא הנחת [[השערת רימן]]]]
[[קובץ:History of the prove of the Goldbach's weak conjecture assuming the GRH.png|700px|ממוזער|מרכז|ההיסטוריה של הוכחת ההשערה בהנחת [[השערת רימן המוכללת]]]]

==רעיון ההוכחה==
ההוכחה של הלפגוט, כמו גם כמעט כל ההוכחות החלקיות הקודמות, מבוססת על השיטה הבאה: בוחרים פונקציית משקל על הטבעיים <math>w(n)</math> ומנסים לשערך את הסכום <math display="block">f(n)=\sum_{p+q+l=n}w(p)w(q)w(l)</math>
כאשר <math>p+q+l=n</math> ו־<math>p,q,l</math> ראשוניים. כדי להראות ש <math>n</math> הוא סכום של 3 ראשוניים די להראות ש <math>f(n)>0</math>. שיטת השערוך מבוססת על [[טור פורייה]]. התוצאה המתקבלת היא מהצורה <math>f(n)=g(n)+r(n)</math> כאשר <math>g(n) </math> היא פונקציה מפורשת כלשהי ו־<math>r(n)</math> הוא איבר השגיאה החסום על ידי פונקציה מפורשת <math>h(n)</math>. מכאן שהשערת גולדבך נכונה כאשר <math>g(n)>h(n)</math>. מוכיחים שזה קורה עבור <math>n>C</math> אי־זוגי כאשר <math>C</math> קבוע מסוים ואז בודקים את ההשערה עד <math>C</math>.

החלק העמוק והמרכזי בהוכחה הוא השיערוך של <math>f(n)</math> בעוד שבדיקת ההשערה עד <math>C</math> היא משימה חישובית ביסודה. עם זאת שני החלקים דרשו הן רעיונות מתמטיים והן חישוב מסיבי בעזרת מחשב.

===שיטות להוכחת ההשערה למספרים גדולים===
====ההוכחה של הרדי וליטלווד====
{{ערך מורחב|שיטת המעגל של הארדי וליטלווד}}
[[קובץ:Covering the circle by arcs in Hardy–Littlewood circle method.gif|250px|ממוזער|שמאל|אנימציה המדגימה את יישום [[שיטת המעגל של הארדי וליטלווד|שיטת המעגל]] של [[גודפרי הרולד הארדי|הארדי]] ו[[ליטלווד]] במקרה זה. באנימציה רואים את ה[[מעגל]] מכוסה בסדרת [[קשת (גאומטריה)|קשתות]] סביב [[שורש יחידה|שורשי היחידה]] ההולכות והופכות צרות יותר. אפשר לעצור תהליך זה בנקודה מסוימת ולקרוא לקשתות לפני נקודה זאת גדולות וּלאלה שאחריה קטנות. הוכחת שאינן מתבססות על [[השערת רימן]], מבוססות על חלוקה כזאת.]]
השיטה לשערוך <math>f(n)</math> נקראת [[שיטת המעגל של הארדי וליטלווד]]. היא מבוססת על שערוך של טור החזקות <math display="block">\alpha(z):=\sum f(n)z^n</math> על [[מעגל היחידה]] ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]]. קל לראות ש <math>\alpha(z):=\beta(z)^3</math> כאשר <math display="block">\beta(z)=\sum_{p \text{ is prime}}w(p)z^p</math> לכן די לשערך את <math>\beta</math> על מעגל היחידה. למעשה עובדים עם גרסאות של הפונקציה <math>\beta</math> שבהן הסכום הוא לא רק על ראשוניים אלא עלֹ מחלקה רחבה יותר של מספרים, למשל חֲזקות של ראשוניים. שערוך של גרסאות אלה יוביל לשערוך מספר הדרכים (המשוקלל) שבהן ניתן להציג מספר כסכום של 3 מספרים מהמחלקה המתאימה. אז נותר להוכיח שהתרומה של המספרים שאינם ראשוניים זניחה.

ההוכחה המקורית של הארדי וליטלווד התבססה על ניתוח של הערך של <math>\beta</math> ב[[שורש יחידה|שורשי יחידה]]. ניתוח זה מצריך [[משפט דיריכלה|ידע על התפלגות ראשוניים בסדרות חשבוניות]]. השערת רימן המוכללת נותנת ידע כזה. למעשה יש צורך ב[[השערת רימן|השערת רימן הקאלסית]] וב[[השערת רימן המוכללת]] עבור [[פונקציית זטא של דדקינד|פונקציות זטא של דדקינד]] עבור [[שדה ציקלוטומי|הרחבות ציקלוטומיות של <math>\Q</math>]]. לפי [[משפט הקירוב של דיריכלה]] ניתן לכסות את מעגל היחידה בקשתות שמרכזיהן הם שורשי יחידה ורדיוסיהן הם כאחד חלקי סדר השורש בריבוע. בהתבסס עלֹ זה הצליחו הארדי וליטלווד להרחיב את השערוך של <math>\beta</math> לכל מעגל היחידה.

====ההוכחה של וינוגרדוב====
[[קובץ:Zero-free region for the Riemann zeta-function.svg|250px|ממוזער|שמאל|תחומים שבהם הוכח ש[[פונקציית זטא של רימן]] לא מתאפסת. בהוכחתו של [[איוואן וינוגרדוב|וינוגרדוב]] ובהוכחות שבאו אחריה החליפו תוצאות אודות תחומים כאלה את [[השערת רימן המוכללת]].]]

הרעיון בהוכחה של וינוגרדוב היה לחלק את השערוך לשני חלקים:
* שערוך <math>\beta</math> סביב שורשי יחידה ממעלה נמוכה. קשתות אלה נקראות "הקשתות גדולות" ואיחודן מסומן בדרך כלל ב <math>\mathfrak{M}</math>.
* שערוך <math>\beta</math> בשאר הנקודות. קבוצת נקודות אלו נקראת "הקשתות הקטנות" ומסומנת בדרך כלל ב־<math>\mathfrak{m}</math>.

וינוגרדוב מצא דרך אחרת להתמודד עם הקשתות הקטנות, המבוססת על [[שיטות נפה]]. כיוון שמספר הקשתות הגדולות סופי, נדרש שערוך פחות מדויק עבורן.
לכן ניתן להחליף את השערת רימן המוכללת במשפטים אודות אי־התאפסות של [[פונקציית זטא|פונקציות זטא]] (של רימן ושל דדקינד) באזורים מסוימים במישור המרוכב.

ההוכחה המקורית של וינוגרדוב הסתמכה על תופעת דורינג–הילבורן (Deuring–Heilbronn phenomenon), לפיה קיום של [[שורש (של פונקציה)|אפס]] המהווה [[דוגמה נגדית]] להשערת רימן המוכללת מבטיח אי־התאפסות של פונקציות זטה מסוימות בתחומים מסוימים. כך שאפשר לחלק את ההוכחה לשני מקרים:
*אם השערת רימן המוכללת נכונה, אז משתמשים בהוכחה של הארדי וליטלווד.
*אם השערת רימן המוכללת איננה נכונה, אז משתמשים באפס <math>\alpha</math> המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת כדי לקבל תחומי אי־התאפסות של פונקציות זטה שבהם משתמשים כדי לחסום את התרומה של הקשתות הגדולות.

החיסרון בשיטה זאת, הוא שאין דרך לדעת איפה נמצא <math>\alpha</math> ולכן תחומי האי־התאפסות אינם מפורשים.
זאת הסיבה שהוכחה זו אינה נותנת חסם על המקום שממנו השערת גולדבך החלשה מתקיימת.

====הוכחות מאוחרות יותר====
בהוכחות מאוחרות יותר הוחלף השימוש בתופעת דורינג–הילבורן במשפטים אחרים הנותנים תחומים מפורשים של אי־התאפסות, ולכן הן נותנות חסמים מפורשים (אם כי גבוהים מאוד).

אחד החידושים בהוכחה של הלפגוט היא שבהוכחתו הוא משתמש, בנוסף לאֲזורי האי־התאפסות שהשתמשו בהם בהכחות הקודמות גם בעובדה שלפונקציית זטא אין אפסים לא [[אפס טריוויאלי (השערת רימן)|טריוויאליים]] מחוץ [[הישר הקריטי (השערת רימן)|לישר הקריטי]] בעלי ערך מדומה קטן (בערכו המוחלט) מקבוע מסוים ([[סדר גודל]] של <math>10^8</math>; עבור כ־<math>10^5</math> פונקציות זטא שונות). בדיקה של אי־התאפסות זו התבצעה בשנת [[2011]] על ידי פלאט בעזרת מחשב. בהתבסס על כך הצליח הלפגוט לשפר את החסמים על הקשתות גדולות. כמו כן הלפגוט שיפר את החסמים על הקשתות הקטנות.

===שיטות לבדיקת ההשערה למספרים קטנים===
המספרים שעד אֲליהם צריך לבדוק את השערת גולדבך הם גדולים למדי (<math>C=10^{27}</math> בהוכחה של הלפגוט). לא ניתן לעבור על כמות כזאת של מספרים במחשב מודרני בהשקעה סבירה. קשה עוד יותר לבצע חישוב לא טריוויאלי כלשהו בשבילם. לכן אסטרטגיית הבדיקה צריכה להיות מתוחכמת יותר:

בשלב הראשון מבצעים בדיקה של השערת גולדבך הרגילה עד למספר גדול יחסית <math>M</math>. בדיקה זאת מתבצעת על ידי גרסאות של [[הנפה של ארטוסתנס|נפת ארטוסתנס]]. השיא הנוכחי הושג ב־[[2013]] על ידי אוליברה, סילבה הרצוג ופראד ועומד על <math>M=4\cdot 10^{18}</math>.

כדי להסיק את השערת גולדבך החלשה עד קבוע <math>C</math> די להראות שההפרש המקסימלי בין שני ראשוניים עוקבים עד <math>C</math> קטן מ <math>M</math>. מכאן יש שתי גישות:
* אם מניחים את [[השערת רימן]] קל יחסית לקבל תוצאה כזאת עבור <math>C</math> מסדר גודל קרוב ל־<math>M^2</math>. בשביל <math>M</math> ו־<math>C</math> מסוימים די לבדוק את השערת רימן עד לגובה מסוים במישור המרוכב. עבור <math>M</math> ו־<math>C</math> בהוכחה של הלפגוט, הגובה שעד אליו צריך לבדוק את השערת רימן הוא כ־<math>10^{10}</math>. ניתן לבצע זאת באמצעות מחשב וזאת הייתה אחת הדרכים שבהן השתמש הלפגוט בהוכחתו.

: אם מניחים השערות חזקות בנוגע לפערים בין שני ראשוניים עוקבים אז ניתן להסתפק בערכים קטנים יותר של <math>M</math> כדי להבטיח את תקפות ההשערה עד קבוע שגדול בהרבה מ־<math>C</math>. לדוגמה השערה מרחיקת לכת של Firoozbakht גוררת שאם השערת גולדבך נכונה עד <math>M</math> אז השערת גולדבך החלשה נכונה עד <math>e^{\sqrt{M}}</math>. לכן כבר ב־[[1989]] הערך שעד אליו נבדקה השערת גולדבך היה מספיק (בהנחת השערת Firoozbakht) כדי להבטיח את נכונותה של השערת גולדבך החלשה עד לערך ממנו הוכחה.
* גישה נוספת היא למצוא באופן מפורש [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של ראשוניים שההפרש בין שני איברים עוקבים שלה קטן מ־<math>M</math>. בשביל זה ניתן להגריל מספרים בסדרי הגודל המבוקשים ולבדוק את ראשוניותם.

:לפי [[משפט המספרים הראשוניים]] סביר להניח שמספר המספרים שצריך להגריל גדול רק פי <math>\log(C)</math> ממספר הראשוניים שצריך למצוא, כלומר בסך־הכול <math>\frac{\log(C)C}{M}</math>.

:אמנם מאז [[2002]] ניתן, ב[[מבחן AKS לראשוניות]], לבדוק את ראשוניותו של מספר ב[[זמן פולינומי]] במספר הספרות, אך עדיין מדובר ב[[אלגוריתם]] איטי למדי ולא פרקטי במקרה זה. אולם ניתן להגריל מספרים מסוג מסוים שקל יותר לבדוק את ראשוניותם. הסוג שנבחר על ידי הלפגוט ופלאט הם [[מספרי פרות]] (Proth number). מספר פרות הוא מספר מהסוג <math>k\cdot 2^n+1</math> כאשר <math>k<2^n</math>. בזכות [[משפט פרות]] קל מאוד לבדוק את הראשוניות של מספר כזה.

===אמינות החישובים===
ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב מסיבי בעזרת מחשב. כך שבנוסף לשאלות רגילות הנוגעות לאמינות הטיעונים והתוכנה הנבחנות בכלים הרגילים של [[ביקורת עמיתים]] וקבלה על ידי הקהילה, עלתה גם שאלת אמינות החישוב עצמו ורגישותו ל[[טעויות חומרה]]. ה[[הסתברות|סבירות]] שמחשב יטעה בחישוב נמוכה מאוד אך לא אפסית. לכן כשמבצעים כמות גדולה כל כך של חישובים טעויות כאלה קורות.

הלפגוט נדרש לשאלה זאת, ולכן בחר להסתמך על חישובים שהתבצעו פעמיים, ובמקרה (הנדיר) שהניבו תוצאות שונות נבדקו פעם שלישית. כמו כן הוא העדיף חישוב שהתבצע על ידי [[מחשב על]] מאשר על ידי [[חישוב מבוזר]] במחשבים רגילים. הוא מצא שבעוד שבמחשבים רגילים היו מספר מקרים של תוצאת שלא התאימו זו לזו, ההתאמה במחשבי העל הייתה מושלמת.{{הערה|[https://arxiv.org/pdf/1501.05438.pdf The ternary Goldbach problem]}}

באופן כללי, סיבה מרכזית לטעויות [[חומרה]] היא ה[[קרינה קוסמית]]. קל יותר להגן על מחשב על אחד מקרינה קוסמית מאשר על מספר רב של מחשבים רגילים. כמו כן, ככל שכל [[טרנזיסטור]] קטן יותר ומהיר יותר (כמו במחשבי-על) הסבירות לטעות בחישוב בודד נמוכה יותר.{{הערה|[https://www.youtube.com/watch?v=AaZ_RSt0KP8 וידאו] של [[Veritasium]] על השפעת הקרינה הקוסמית על מחשבים}}
===תיאור סכמתי של ההוכחה===
{{תרשים זרימה להוכחות השערת גולדבך החלשה}}

==לקריאה נוספת==
* [https://arxiv.org/pdf/1501.05438.pdf The ternary Goldbach problem] – ספר שכתב הלפגוט, המתאר את פתרונה של הבעיה וההיסטוריה שלה.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:מספרים ראשוניים]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:הוכחה באמצעות מחשב]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האדיטיבית|גולדבך]]