הצגת המקור של הדף "התכנסות חלשה (מרחב הילברט)"

{{סימון מתמטי}}
'''התכנסות חלשה של סדרה ב[[מרחב הילברט]]''' היא ה[[סדרת פונקציות#סוגי התכנסות|התכנסות]] המושרת מ[[טופולוגיה חלשה|הטופולגיה החלשה]] עליו.

== הגדרה ==
סדרת נקודות <math>(x_n)</math> במרחב הילברט H מתכנסת חלש ל־<math>x \in H</math> אם לכל <math>y \in H</math>, <math>\lim_{n \to \infty} \langle x_n,y \rangle = \langle x,y \rangle</math>. זוהי ההתכנסות בטופולוגיה החלשה. לעיתים התכנסות זו נרשמת באופן הבא:<math>x_n\rightharpoonup x </math>.

== תכונות ==
* אם סדרת נקודות <math>(x_n)</math> מתכנסת ל־x אז היא מתכנסת אליו חלש לפי [[אי-שוויון קושי-שוורץ|אי שוויון קושי שוורץ]]: <math>\langle x_n,y \rangle - \langle x,y \rangle = \langle x_n-x,y \rangle \leq \| x_n-x \|\|y\|\rightarrow0</math>.
* כמו כן מאי שוויון קושי שוורץ נובע שה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] היא [[רציפות למחצה|רציפה למחצה]] מלמטה: אם <math>(x_n)</math>מתכנסת חלש ל־x אז <math>\lim_{n \to \infty}\langle x_n,x \rangle = \|x\|^2 </math> ומקושי שוורץ נקבל ש־<math>\|x\|^2 = lim_{n \to \infty}\langle x,x_n \rangle \leq \liminf_{n \to \infty} \|x_n\|\|x\|</math>.
* מצד שני אם סדרת נקודות <math>(x_n)</math> מתכנסת חלש ל־x וכן <math>lim_{n \to \infty}\|x_n\| = \|x\|</math> אז <math>(x_n)</math>מתכנסת ל x: <math>\|x-x_n\|^2 = \langle x-x_n,x-x_n \rangle = \langle x,x \rangle + \langle x,x \rangle - \langle x_n,x \rangle-\langle x,x_n \rangle \rightarrow 0</math>.
* [[משפט בנך-שטיינהאוס|ממשפט בנך שטיינהוס]], נובע שכל [[סדרה מתכנסת]] חלש היא חסומה. מצד שני לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת חלש.

== משפט בנך-סאקס ==
משפט בנך–סאקס מספק קשר נוסף בין התכנסות להתכנסות חלשה:

תהי <math>(x_n)</math> סדרה המתכנסת חלש ל־x אזי יש ל־x תת-סדרה המתכנסת בממוצע ל־x: <math>\lim_{N \to \infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N x_{n_k} = x</math>.

'''הוכחה''': בה"כ x=0. כמו כן <math>(x_n)</math>מתכנסת חלש ולכן חסומה על ידי M. נגדיר את הסדרה <math>(n_k)</math> באופן הבא הבא: <math>n_1 = 1</math> וכן בהינתן <math>n_j</math> לכל j<k מתקיים מההתכנסות החלשה ש־<math>\langle x_n,x_{n_j} \rangle \rightarrow 0</math> לכל j<k ולכן יש m כך ש־<math>| \langle x_m,x_{n_j} \rangle | <\tfrac{1}{k}</math> לכל j<k. נבחר את <math>n_k</math> להיות ה־m הראשון המקיים זאת. מתקיים: <math>\|\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N x_{n_k}\|^2 = \frac{1}{N^2}(\sum_{k=1}^N \|x_{n_k}\|^2+2\real(\sum_{1 \leq i < j \leq N}\langle x_{n_i},x_{n_j} \rangle)) \leq \tfrac{NM^2+2\sum_{k=1}^{N-1}\tfrac{k}{k+1}}{N^2}\leq \tfrac{M^2+2}{N} \rightarrow 0 </math> ונקבל את הדרוש.

'''הערה:''' למעשה המשפט נכון לכל [[מרחב בנך]] קמור במידה שווה (למשל מרחב <math>\mathbb{L}^p</math>כאשר <math> 1<p<\infty</math>){{הערה|{{צ-מאמר|מחבר=שיזו קאקוטאני|שם=Weak Convergence in Uniformly Convex Spaces|כתב עת=}}}}.

== דוגמאות ==
* תהי <math>e_n </math> מערכת אורתונורמלית. כיוון ש־<math>\|e_n\| = 1 </math>, ברור ש־<math>e_n </math> איננה שואפת לאפס. עם זאת, נראה שהיא שואפת חלש לאפס. אכן יהי <math>x \in H </math>. מאי שוויון בסל נקבל  <math>\sum_n | \langle e_n, x \rangle |^2 \leq \| x \|^2 </math> ובפרט הטור מתכנס ולכן אבריו שואפים לאפס. לכן <math>|\langle e_n, x \rangle| \rightarrow 0 </math> ולכן <math>e_n </math> שואפת חלש לאפס.

== לקריאה נוספת ==
* וויס בנימין, ליינדרשטראוס יורם, פזי אמנון, '''אנליזה פונקציונלית''', האוניברסיטה העברית 1980.
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים של משתמשים חדשים|2019 06]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
[[קטגוריה:דויד הילברט]]
[[קטגוריה:התכנסות (מתמטיקה)]]