התכנסות חלשה (מרחב הילברט)

תבנית:סימון מתמטי התכנסות חלשה של סדרה במרחב הילברט היא ההתכנסות המושרת מהטופולגיה החלשה עליו.

הגדרה

סדרת נקודות $(x_n)$ במרחב הילברט H מתכנסת חלש ל־$x\in H$ אם לכל $y\in H$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_n,y⟩=⟨x,y⟩$. זוהי ההתכנסות בטופולוגיה החלשה. לעיתים התכנסות זו נרשמת באופן הבא:$x_n\rightharpoonup x$.

תכונות

• אם סדרת נקודות $(x_n)$ מתכנסת ל־x אז היא מתכנסת אליו חלש לפי אי שוויון קושי שוורץ: $⟨x_n,y⟩-⟨x,y⟩=⟨x_n-x,y⟩\le \Vert x_n-x\Vert \Vert y\Vert \to 0$.
• כמו כן מאי שוויון קושי שוורץ נובע שהנורמה היא רציפה למחצה מלמטה: אם $(x_n)$מתכנסת חלש ל־x אז $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_n,x⟩=\Vert x{\Vert }^2$ ומקושי שוורץ נקבל ש־$\Vert x{\Vert }^2=li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}⟨x,x_n⟩\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\Vert x_n\Vert \Vert x\Vert$.
• מצד שני אם סדרת נקודות $(x_n)$ מתכנסת חלש ל־x וכן $li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}\Vert x_n\Vert =\Vert x\Vert$ אז $(x_n)$מתכנסת ל x: $\Vert x-x_n{\Vert }^2=⟨x-x_n,x-x_n⟩=⟨x,x⟩+⟨x,x⟩-⟨x_n,x⟩-⟨x,x_n⟩\to 0$.
• ממשפט בנך שטיינהוס, נובע שכל סדרה מתכנסת חלש היא חסומה. מצד שני לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת חלש.

משפט בנך-סאקס

משפט בנך–סאקס מספק קשר נוסף בין התכנסות להתכנסות חלשה:

תהי $(x_n)$ סדרה המתכנסת חלש ל־x אזי יש ל־x תת-סדרה המתכנסת בממוצע ל־x: $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{x}_{n_k}=x$.

הוכחה: בה"כ x=0. כמו כן $(x_n)$מתכנסת חלש ולכן חסומה על ידי M. נגדיר את הסדרה $(n_k)$ באופן הבא הבא: $n_1=1$ וכן בהינתן $n_j$ לכל j<k מתקיים מההתכנסות החלשה ש־$⟨x_n,x_{n_j}⟩\to 0$ לכל j<k ולכן יש m כך ש־$|⟨x_m,x_{n_j}⟩|<\frac{1}{k}$ לכל j<k. נבחר את $n_k$ להיות ה־m הראשון המקיים זאת. מתקיים: $\Vert \frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{x}_{n_k}{\Vert }^2=\frac{1}{N^2}(\sum _{k=1}^N\Vert x_{n_k}{\Vert }^2+2\mathrm{\Re }(\sum _{1\le i<j\le N}⟨x_{n_i},x_{n_j}⟩))\le \frac{N{M}^2+2\sum _{k=1}^{N-1}\frac{k}{k+1}}{N^2}\le \frac{M^2+2}{N}\to 0$ ונקבל את הדרוש.

הערה: למעשה המשפט נכון לכל מרחב בנך קמור במידה שווה (למשל מרחב ${𝕃}^p$כאשר $1<p<\mathrm{\infty }$)תבנית:הערה.

דוגמאות

• תהי $e_n$ מערכת אורתונורמלית. כיוון ש־$\Vert e_n\Vert =1$, ברור ש־$e_n$ איננה שואפת לאפס. עם זאת, נראה שהיא שואפת חלש לאפס. אכן יהי $x\in H$. מאי שוויון בסל נקבל $\sum _n|⟨e_n,x⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$ ובפרט הטור מתכנס ולכן אבריו שואפים לאפס. לכן $|⟨e_n,x⟩|\to 0$ ולכן $e_n$ שואפת חלש לאפס.

לקריאה נוספת

• וויס בנימין, ליינדרשטראוס יורם, פזי אמנון, אנליזה פונקציונלית, האוניברסיטה העברית 1980.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld