הצגת המקור של הדף "התפלגות F"

{{נתוני התפלגות
|שם=התפלגות F
|תמונת צפיפות=F-distribution pdf.svg
|תמונת מצטברת=F_dist_cdf.svg
|פרמטרים= <math> \ d_1, d_2 </math> [[דרגות חופש (מכניקה)|דרגות חופש]]
|תומך= <math>x \in [0,+\infty)</math>
|צפיפות= <math>\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!</math>
|תוחלת=<math>\frac{d_2}{d_2-2}\!</math><br /> for ''d''<sub>2</sub> > 2
|מצטברת=<math>I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}} \left(\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right)</math>
|שכיח=<math>\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}</math><br /> for ''d''<sub>1</sub> > 2
|שונות=<math>\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!</math><br /> for ''d''<sub>2</sub> > 4
|צידוד=<math>\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!</math><br />for ''d''<sub>2</sub> > 6
| גבנוניות = ראה טקסט
}}
ב[[הסתברות]] ו[[סטטיסטיקה]], '''התפלגות F''' היא [[התפלגות רציפה]] שמופיעה פעמים רבות כ[[השערת האפס]] להתפלגות לסטטיסטי המבחן ב[[מבחן סטטיסטי|מבחנים סטטיסטים]], ובפרט ב[[ניתוח שונות]] (ראו [[מבחן F]]).<ref name=johnson>{{cite book | last = Johnson
  | first = Norman Lloyd
  |author2=Samuel Kotz |author3=N. Balakrishnan
   | title = Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27)
  | publisher = Wiley
  | year = 1995
  | isbn = 0-471-58494-0}}</ref><ref>{{cite book | last = Mood
  | first = Alexander
  |author2=Franklin A. Graybill |author3=Duane C. Boes
  | title = Introduction to the Theory of Statistics |edition=Third |pages=246–249| publisher = McGraw-Hill | year = 1974| isbn = 0-07-042864-6}}</ref> התפלגות F ידועה גם כ'''התפלגות פישר-סנדקור,''' על שם [[רונלד פישר]] וג'ורג' סנדקור.

==הגדרה וסימון==
כאשר [[משתנה מקרי]] <math>X</math> מקבל ערכים לפי התפלגות F עם פרמטרים <math>d_1</math> ו-<math>d_2</math>, נהוג לסמן זאת כך: <math>X \sim F(d_1 ,d_2)</math>, ופונקציית צפיפות ההסתברות שלו מוגדרת: <math display="block">
\begin{align}
f(x; d_1,d_2) &= \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\
&=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}} x^{\frac{d_1}{2} - 1} \left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}}
\end{align}
</math>
עבור <math>x \geq 0</math>, כאשר <math>\mathrm{B}</math> היא [[פונקציית בטא]]. בשימושים רבים נהוג שהמשתנים <math>d_1</math> ו-<math>d_2</math> מקבלים [[מספר טבעי|מספרים שלמים חיוביים]], אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.

פונקציית ההסתברות המצטברת נתונה על ידי
:<math>F(x; d_1,d_2)=I_{d_1 x/(d_1 x + d_2)}\left (\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right) </math>

כאשר <math>I</math> מסמנת את [[פונקציית בטא#פונקציית בטא הלא שלמה|פונקציית בטא הלא שלמה]] הרגולרית.

==אפיון==
ניתן לבטא משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים <math>d_1</math> ו-<math>d_2</math> כמנה של שני משתנים מקריים המתפלגים לפי [[התפלגות כי בריבוע|כי בריבוע]]:<ref>{{cite book |first=M. H. |last=DeGroot |year=1986 |title=Probability and Statistics |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-11366-X |page=500 }}</ref>
<math display="block">X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>
כאשר <math>U_1</math> ו-<math>U_2</math> הם שני משתנים מקריים [[תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]], אשר מתפלגים לפי כי בריבוע עם <math>d_1</math> ו-<math>d_2</math> דרגות חופש, בהתאמה.

ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל ב[[ניתוח שונות]], משתמשים לעיתים ב[[משפט קוצ'רן]] {{אנ|Cochran's theorem}} כדי להראות אי תלות של <math>U_1</math> ו-<math>U_2</math>.

== תכונות ==
התוחלת, השונות ומאפיינים נוספים של התפלגות F ניתנים בתיבת המידע. 

עבור <math>d_2 > 8</math>, ה[[גבנוניות (סטטיסטיקה)|גבנוניות]] של התפלגות F היא
:<math>\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.</math>

המומנט ה-k של התפלגות <math>F(d_1, d_2)</math> קיים, והוא סופי רק כאשר <math>2k < d2</math> . הוא שווה ל<ref name=taboga>{{cite web | last1 = Taboga | first1 = Marco | url = http://www.statlect.com/F_distribution.htm | title = The F distribution}}</ref>
:<math>\mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }.</math>

הפונקציה האופיינית מופיעה בצורה שגויה במקורות סטנדרטים מסוימים (למשל <ref>{{צ-ספר|שם=Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables|קישור=https://archive.org/details/handbookofmathem1964abra|מו"ל=U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards|שנת הוצאה=1964|מחבר=Milton (editor) Abramowitz, Irena A. (editor) Stegun}}</ref>). הביטוי הנכון הוא<ref>Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," ''[[Biometrika]]'', 69: 261–264</ref>
:<math>\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{d_2}{2}\right)} U \! \left(\frac{d_1}{2},1-\frac{d_2}{2},-\frac{d_2}{d_1} \imath s \right)</math>
כאשר <math>U(a, b, z)</math> היא הפונקציה ההיפרגאומטרית הקונפלואנטית {{אנ|Confluent hypergeometric function}} מהסוג השני.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{התפלגות}}
{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות|F]]