התפלגות F

תבנית:נתוני התפלגות בהסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות F היא התפלגות רציפה שמופיעה פעמים רבות כהשערת האפס להתפלגות לסטטיסטי המבחן במבחנים סטטיסטים, ובפרט בניתוח שונות (ראו מבחן F).^[1]^[2] התפלגות F ידועה גם כהתפלגות פישר-סנדקור, על שם רונלד פישר וג'ורג' סנדקור.

הגדרה וסימון

כאשר משתנה מקרי $X$ מקבל ערכים לפי התפלגות F עם פרמטרים $d_{1}$ ו- $d_{2}$ , נהוג לסמן זאת כך: $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ , ופונקציית צפיפות ההסתברות שלו מוגדרת: $\begin{matrix} f (x; d_{1}, d_{2}) & = \frac{\sqrt{\frac{(d_{1} x)^{d_{1}} d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1} x + d_{2})^{d_{1} + d_{2}}}}}{x B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} \\ = \frac{1}{B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} {(\frac{d_{1}}{d_{2}})}^{\frac{d_{1}}{2}} x^{\frac{d_{1}}{2} - 1} {(1 + \frac{d_{1}}{d_{2}} x)}^{- \frac{d_{1} + d_{2}}{2}} \end{matrix}$ עבור $x \geq 0$ , כאשר $B$ היא פונקציית בטא. בשימושים רבים נהוג שהמשתנים $d_{1}$ ו- $d_{2}$ מקבלים מספרים שלמים חיוביים, אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.

פונקציית ההסתברות המצטברת נתונה על ידי

F (x; d_{1}, d_{2}) = I_{d_{1} x / (d_{1} x + d_{2})} (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})

כאשר $I$ מסמנת את פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית.

אפיון

ניתן לבטא משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים $d_{1}$ ו- $d_{2}$ כמנה של שני משתנים מקריים המתפלגים לפי כי בריבוע:^[3] $X = \frac{U_{1} / d_{1}}{U_{2} / d_{2}}$ כאשר $U_{1}$ ו- $U_{2}$ הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, אשר מתפלגים לפי כי בריבוע עם $d_{1}$ ו- $d_{2}$ דרגות חופש, בהתאמה.

ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל בניתוח שונות, משתמשים לעיתים במשפט קוצ'רן תבנית:אנ כדי להראות אי תלות של $U_{1}$ ו- $U_{2}$ .

תכונות

התוחלת, השונות ומאפיינים נוספים של התפלגות F ניתנים בתיבת המידע.

עבור $d_{2} > 8$ , הגבנוניות של התפלגות F היא

γ_{2} = 12 \frac{d_{1} (5 d_{2} - 22) (d_{1} + d_{2} - 2) + (d_{2} - 4) (d_{2} - 2)^{2}}{d_{1} (d_{2} - 6) (d_{2} - 8) (d_{1} + d_{2} - 2)} .

המומנט ה-k של התפלגות $F (d_{1}, d_{2})$ קיים, והוא סופי רק כאשר $2 k < d 2$ . הוא שווה ל^[4]

μ_{X} (k) = {(\frac{d_{2}}{d_{1}})}^{k} \frac{Γ (\frac{d_{1}}{2} + k)}{Γ (\frac{d_{1}}{2})} \frac{Γ (\frac{d_{2}}{2} - k)}{Γ (\frac{d_{2}}{2})} .

הפונקציה האופיינית מופיעה בצורה שגויה במקורות סטנדרטים מסוימים (למשל ^[5]). הביטוי הנכון הוא^[6]

φ_{d_{1}, d_{2}}^{F} (s) = \frac{Γ (\frac{d_{1} + d_{2}}{2})}{Γ (\frac{d_{2}}{2})} U (\frac{d_{1}}{2}, 1 - \frac{d_{2}}{2}, - \frac{d_{2}}{d_{1}} ı s)

כאשר $U (a, b, z)$ היא הפונקציה ההיפרגאומטרית הקונפלואנטית תבנית:אנ מהסוג השני.

קישורים חיצוניים

תבנית:MathWorld

הערות שוליים

תבנית:הערות שוליים

תבנית:התפלגות תבנית:קצרמר

↑ תבנית:Cite book
↑ תבנית:Cite book
↑ תבנית:Cite book
↑ תבנית:Cite web
↑ תבנית:צ-ספר
↑ Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261–264

[johnson-1] תבנית:Cite book

[2] תבנית:Cite book

[3] תבנית:Cite book

[taboga-4] תבנית:Cite web

[5] תבנית:צ-ספר

[6] Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261–264

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

התפלגות F

תוכן עניינים

הגדרה וסימון

אפיון

תכונות

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

התפלגות F

הגדרה וסימון

אפיון

תכונות

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש