הצגת המקור של הדף "זהות קאסיני"

ב[[מתמטיקה]], '''זהות קאסיני''' היא ה[[זהות (מתמטיקה)|זהות]]:
:<math>F_{n+1}\cdot F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n</math>
כאשר <math>F_k</math> הוא האיבר ה-k ב[[סדרת פיבונאצ'י]].

לדוגמה 5, 8, 13 הם איברים סמוכים בסדרת פיבונאצ'י, ואכן:
:<math>13\cdot 5-8^2 = 65-64 = 1</math>

הזהות נקראת על שם [[ג'ובאני דומניקו קאסיני]] שגילה אותה ב-[[1680]].

==הוכחה==
ההוכחה הקצרה ביותר לנוסחה נעזרת בחוקי [[דטרמיננטה|דטרמיננטות]]:

קל להוכיח ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] שמתקיים:
:<math>\left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]^n</math>

ולכן:
:<math>F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 =\det\left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{matrix}\right] =\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]^n =\left(\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]\right)^n =(-1)^n</math>

==הכללות==
[[אז'ן שרל קטלן]] הוכיח ב-[[1879]] את זהות קטלן:
:<math>F_n^2 - F_{n+r}F_{n-r} = (-1)^{n-r}F_r^2</math>

זהות קאסיני מתקבלת ממנה על ידי ההצבה <math>r=1</math>.

[[סטפן ויידה]] (Steven Vajda) הוכיח שמתקיים:
:<math>F_{n+i}F_{n+j} - F_{n}F_{n+i+j} = (-1)^nF_{i}F_{j}</math>

כאשר מוסכם שלכל n טבעי: <math>F_{-n} = (-1)^{n+1}F_n</math> (הגדרה זו משמרת את נוסחת הנסיגה של מספרי פיבונאצ'י).

זהות קטלן מתקבלת מזהות זו על ידי ההצבה <math>i=r, j=-r</math>.

==קישורים חיצוניים==
* [[proofwiki:Cassini's Identity|הוכחה של זהות קאסיני]] באתר proofwiki
* [[proofwiki:Catalan's Identity|הוכחה של זהות קטלן]] באתר proofwiki
* [[proofwiki:Vajda's Identity|הוכחה של זהות ויידה]] באתר proofwiki
{{מיון רגיל:קאסיני, זהות}}
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:סדרת פיבונאצ'י]]
[[קטגוריה:זהויות במתמטיקה]]