הצגת המקור של הדף "חבורה סופית"

ב[[מתמטיקה]] ובפרט ב[[תורת החבורות]] '''חבורה סופית''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] בעלת מספר סופי של איברים. חקר החבורות הסופיות מהווה חלק חשוב בתורת החבורות. בעוד שעבור חבורות אין-ספיות בדרך כלל נדרש מבנה נוסף או לפחות תכונות נוספות כדי לקבל תורה מעניינת, יש תורה עשירה ועמוקה שתקפה עבור כל החבורות הסופיות.
==דוגמאות==
{{בעבודה|פסקה=כן}}
==מיון==
אין מיון מלא ושימושי{{הערה|כמובן הדבר תלוי בהגדרת המושג מיון. מכיון שהבעיה היא סופית מבחינה חישובית, הכוונה כאן אינה לאלגוריתם שמונה אותם, אלא למיון של חבורות סופיות במונחים של אוביקטים פשוטים יותר מבחינה קומבינטורית.}} שמתאר את כל החבורת הסופיות. יש גם אינדיקציות רבות לכך שהדבר אינו אפשרי.{{הערה|שם=איאפשר|ראו [https://mathoverflow.net/questions/180355/in-what-sense-is-the-classification-of-all-finite-groups-impossible דיון] ב-[[MathOverflow]] בנושא.}} אולם, אפשר לתת מיון חלקי שמספק מידע רב על המבנה האפשרי של חבורות סופיות.
===הרחבה של חבורות===
{{ערך מורחב|הרחבה של חבורות}}
צעד הראשון בהבנת המבנה של חבורה כללית הוא האבחנה שאם לחבורה <math>G</math> יש תת חבורה נורמלית <math>N</math> אז ניתן להבין הרבה על <math>G</math> מתוך החבורה <math>N</math>  וחבורת המנה <math>G/N</math>. במקרה כזה, החבורה <math>G</math> נקראת הרחבה של החבורות <math>N</math>  ו - <math>G/N</math>.
===חבורות פשוטות===
{{ערך מורחב|חבורה פשוטה}}
אם <math>N</math> היא החבורה [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]]ת או ש - <math>N=G</math> אז שיטה זאת להבנת מבנה החבורה <math>G</math>  נכשלת. בהתאם, אם  ל - <math>G</math> יש רק 2 תת-חבורות נורמליות (<math>G</math> והחבורה הטריוויאלית) אז לא ניתן להשתמש בשיטה זאת. במקרה כזה <math>G</math>  נקראת [[חבורה פשוטה]].

=== משפט ז'ורדן-הלדר ===
{{ערך מורחב| משפט ז'ורדן-הלדר}}
על ידי הפעלה חוזרת של הטיעון למעלה, קל לראות שבהנתן חבורה סופית <math>G</math> ניתן למצא סדרה של חבורות 
<math display="block">G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_k={1}</math> כך ש: <math>G_i/G_{i+1}</math> היא חבורה פשוטה. במילים אחרות כל חבורה סופית מתקבלת מהרחבה חוזרת של חבורות סופיות פשוטות. סדרת החבורות  <math>G_i</math> נקראת סדרת הרכב של <math>G</math> והמנות <math>G_i/G_{i+1}</math>  נקראות גורמי הסדרה.

[[משפט ז'ורדן-הלדר]] קובע כי אוסף הגורמים של סדרת הרכב תלוי רק בחבורה <math>G</math> ולא בבחירת  סדרת ההרכב. בהתאם, לגורמים אלה קוראים לעיתים גם הגורמים הפשוטים של <math>G</math> 

לאור משפט זה ניתן לחלק את משימת המיון של חבורות סופיות לשתי משימות:
# מיון כל החבורות הפשוטות.
# מיון כל החבורות בעלות אוסף גורמים פשוטים נתון. במלים אחרות מיון כל הדרכים בהם ניתן להרחיב חבורות פשוטות אחת עם השניה (שוב ושוב). 
המשימה הראשונה היתה קשה ביותר, והיא הושלמה באופן מספק למדי במהלך [[המאה ה-20]] ומהווה את [[משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות]]. משפט זה מהווה את אחת התוצאות המורכבות במתמטיקה. לאומת זאת, המשימה השניה קשה בהרבה, נחשב שלא ניתן להציג לה פיתרון כללי ושימושי.{{הערה|שם=איאפשר}} אולם במקרים מסוימים ניתן לספק לה פתרונות חלקיים.

===משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות===
{{ערך מורחב|משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות}}
משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות קובע שכל חבורה סופית פשוטה שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:
# [[חבורה ציקלית|החבורות הציקליות]] מ[[סדר של חבורה|סדר]] [[מספר ראשוני|ראשוני]].
# חבורות של [[חבורת התמורות הזוגיות|תמורות זוגיות]] מסדר 5 ומעלה.
# [[חבורה סופית מטיפוס לי|חבורות פשוטות סופית מטיפוס לי]]. חבורות אלה כוללות את [[חבורה קלאסית|החבורות הפשוטות הסופית הקלאסיות]], את החבורת הפשוטות הסופיות מחמשת הטיפוסים המיוחדים של [[חבורת לי|חבורות לי]], ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
# רשימה ידועה של 26 [[החבורות הספורדיות|חבורות ספורדיות]].
יש [[חיתוך (תורת הקבוצות)|חיתוך]] מסוים בין קבוצות 2 ו - 3, אך חיתוך זה סופי (שלוש חבורות) וידוע באופן מפורש.{{הערה|מדובר בחבורת <math>A_5, A_6, A_8</math>}}

המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה. העבודה על המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים. משפט המיון הוא משפט מרכזי ב[[תורת החבורות|תורת החבורות הסופיות]], והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים.
===חבורות אבליות===
{{ערך מורחב|משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית}}
חבורה נקראת [[חבורה אבלית|אבלית]] אם כל שני איברים <math>x,y</math> בה מתחלפים (זאת אומרת <math>xy=yx</math>). מיון חבורות סופיות אבליות היא משימה פשוטה בהרבה.
קל לראות שחבורות אבלית פשוטות הן בדיוק [[חבורה ציקלית|החבורות הציקליות]] [[סדר של חבורה|מסדר]] [[מספר ראשוני|ראשוני]]. גם המיון של חבורת אבליות סופיות כלליות אינו מסובך ומהווה מקרה פרטי של [[משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית]]. לפי משפט זה כל חבורה אבלית סופית היא [[מכפלה ישרה]] של חבורות ציקליות סופיות. בדרך כלל, את אותה החבורה האבלית ניתן לכתוב במספר דרכים שונות בתור מכפלה של חבורות ציקליות סופיות. אולם, אם דורשים דברים נוספים מפרוק זה אז הוא נהיה יחיד. לדוגמה, כל חבורה אבלית סופית ניתן לכתוב באופן יחיד בתור מכפלה ישרה של חבורות ציקליות ש[[סדר של חבורה|סידרן]] הוא חזקת [[מספר ראשוני|ראשוני]].

===חבורות פתירות===
{{ערך מורחב|חבורה פתירה}}
[[חבורה פתירה|חבורות פתירות]] (סופיות) הן חבורות (סופיות) שגורמיהן הפשוטים הם חבורות אבליות. החבורת האבליות הפשוטות קלות מאוד לתיאור - אלו הן החבורות הציקליות מסדר ראשוני. אולם קשה מאוד לתאר את כל ההרחבות שלהן. בהרבה מובנים, עיקר הקושי במיון כל ההרחבות של חבורת פשוטות בא לידי ביטוי כבר במיון החבורות הפתירות.

===חבורות נילפוטנטיות וחבורת p===
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[חבורה נילפוטנטית]], [[חבורת p]]}}
החבורות הנילפוטנטיות מהוות מחלקה חשובה של חבורת פתירות.
חבורה נילפוטנטית היא חבורה פתירה שקיימת עבורה סדרת הרכב [[סדרה מרכזית|מרכזית]]. זאת אומרת סדרת הרכב:
<math display="block">G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_k={1}</math>  כך שהגורם <math>G_i/G_{i+1}</math> הוא תת-חבורה של המרכז של <math>G/G_{i+1}</math>. במילים אחרות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה המתקבלת [[הרחבה מרכזית|מהרחבות מרכזיות]] (ראו להלן) חוזרות.

המבנה של חבורות נילפוטנטיות קשור קשר הדוק למבנה של חבורת-<math>p</math>. עבור מספר ראשוני <math>p</math>, חבורת-<math>p</math> היא חבורה שסדרה הוא חזקה של <math>p</math>. הקשר בין חבורות נילפוטנטוית וחבורות-<math>p</math> ניתן על ידי המשפט הבא:

'''משפט:''' אם <math>G</math> היא חבורה סופית אז הדברים הבאים שקולים:
* <math>G</math> נילפוטנטית
* <math>G</math> היא מכפלה ישרה של חבורת-<math>p</math>.

הפרוק של חבורה נילפוטנטית למכפלה של חבורת-<math>p</math> הוא יחיד.

כדי להבין את המבנה של חבורות נילפוטנטיות די להבין את הבנה של חבורות-<math>p</math>.
חבורות-<math>p</math> הן חבורות המתקבלות מהרחבות (חוזרת) של החבורה הציקלית מסדר  <math>p</math> - <math>C_p</math>. למרות המבנה הפשוט של החבורה  <math>C_p</math> ולמרות העבדה שהרחבות כאלה חיבות להיות מרכזיות. תיאור מלא ושימושי של ההרחבות האלה באופן כללי נחשב למשימה בלתי אפשרית. אוסף חבורות ה-<math>p</math> הוא עשיר מאוד. למעשה אחוז החבורות (עד סדר נתון  <math>n</math>) שהן חבורת <math>2</math> מתוך כל החבורת הנילפוטנטיות עד אותו הסדר שואף ל-1 כאשר <math>n</math> שואף לאינסוף. משערים, שגם אחוז החבורות הנילפוטנטיות במין כל החבורת עד סדר <math>n</math> שואף ל-1.{{הערה|[https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/CD50404A82A78841579B25D83A318C23/S1446788700002068a.pdf/some_questions_about_pgroups.pdf]}}

===עץ מיון של חבורות סופיות===
{{עץ מיון של חבורות סופיות}}
===סוגים של הרחבות===
{{ערך מורחב|הרחבה של חבורות}}
אומנם מיון מלא ושימושי של הרחבות אינו בנמצא, אבל יש סוגים של הרחבות הקלים יותר להבנה.
====מכפלה ישרה====
{{ערך מורחב|מכפלה ישרה של חבורות}}
הסוג הפשוט ביותר של הרחבה הוא [[מכפלה ישרה]]. בהינתן שתי חבורות <math>G,H</math> המכפלה הישרה שלהן מסומנת ב - <math>G\times H</math> ומהוה את אוסף כל הזוגות של איברים שהראשון בהם הוא איבר ב-<math>G</math> והשני הוא איבר ב-<math>H</math>.
המכפלה של זוגות כאלה מוגדרת על ידי <math display="block">(g_1,h_1)(g_2,h_2):=(g_1g_2,h_1h_2)</math>

מכפלה ישרה נקראת גם הרחבה טריוויאלית.
====מכפלה חצי-ישרה====
{{ערך מורחב|מכפלה חצי ישרה}}
חבורה <math>G</math> נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות שלה <math>H,N<G</math> אם מתקיים:
* <math>N</math> נורמלית ב-<math>G</math>
* <math>H\cap N=\{1\}</math>
* <math>HN=G</math>, כלומר כל איבר ב-<math>G</math>  ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב-<math>H</math>  ואיבר ב-<math>N</math>.
המכפלות החצי-ישרות של <math>H</math> ו-<math>N</math> (עד כדי איזומורפיזם)  ממוינות על-ידי פעלות של <math>H</math> על <math>N</math> (עד כדי [[יחס שקילות]] מתאים).

ככלל, ככול ש - <math>N</math> "יותר קמוטטיבית" כך יש יותר דרכים ל - <math>H</math>  לפעול עליה (עד כדי הצמדה ב-<math>N</math>). לכן ככל של - <math>N</math> יש ייותר גורמים קמוטטיביים, כך המכפלות החצי ישרות של <math>H</math> ו - <math>N</math> מאפשרות מגוון עשיר יותר של הרחבות.

מכפלה חצי ישרה נקראת גם "הרחבה מתפצלת".

====מכפלת זר====
{{ערך מורחב|מכפלת זר}}
מקרה פרטי של מכפלה חצי ישרה הוא מכפלת זר. במקרה זה <math>N</math> היא מכפלה ישרה של מספר עותקים של חבורה   <math>N_0</math> והפעולה של <math>H</math> על - <math>N</math> היא על-ידי תמורות של עותקים אלו. אם כל הגורמים הפשוטים של חבורה <math>G</math> הם לא [[חבורה אבלית|אבליים]] אז ההרחבות בין הגורמים השונים דומות למדי למכפלות זר (אם כי לא בהכרח מתפצלות){{הערה|[https://mathoverflow.net/questions/430336/splitting-of-a-finite-group-with-no-abelian-subfactor-in-composition-series], [https://academic.oup.com/qjmath/article-abstract/29/4/463/1558184?redirectedFrom=fulltext], [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869367900294]}}

====הרחבה מרכזית====
{{ערך מורחב|הרחבה מרכזית של חבורות}}
בהינתן חבורה <math>G</math> ותת-חבורה <math>N<Z(G)</math> של המרכז של <math>G</math> אומרים ש-<math>G</math> היא [[הרחבה מרכזית]] של <math>G/N</math> ע"י <math>N</math>.
ניתן למיין הרחבות מרכזיות באמצעות כלים של [[אלגברה הומולוגית]]. 
ההרחבות המרכזיות של חבורה <math>H</math> ע"י [[חבורה אבלית]] <math>N</math> ממוינות על ידי [[קוהומולוגיה של חבורות|הקוהומולוגיה]] <math display="block">H^2(H,N)</math>

אם <math>H</math>  [[חבורה מושלמת]], אז הבעיה נהיית פשוטה יותר. בפרט מתקיים  <math display="block">H^2(H,N)=H^2(H,\Z)\otimes N</math>. 

אם <math>H</math> חבורה סופית אז החבורה <math>H^2(H,\Z)</math> היא חבורה סופית. חבורה זו נקראת [[כופל שור]] של <math>H</math>. לחבורה סופית מושלמת <math>H</math> יש הרחבה מרכזית <math>\tilde H</math> ע"י כופל שור שלה שנקראת ההרחבה המרכזית האונברסלית של <math>H</math>. כל הרחבה מרכזית מושלמת של <math>H</math> היא מנה של <math>\tilde H</math> בתת-חבורה של <math>H^2(H,\Z)</math>.

כחלק מ[[משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות]] מוינו גם כל ההרחבות המרכזיות של חבורות אלו.

====מיון של הרחבות====
{{ערך מורחב|הרחבה של חבורות}}
ניתן למיין את כל ההרחבות של 2 חבורות בכלים של אלגברה הומולוגית. מיון זה נקרא לעיתים [[תורת שרייר (הרחבות)|תורת שרייר]].{{הערה|לדוגמה [https://ncatlab.org/nlab/show/group+extension#SchreierTheoryTraditional כאן]}} להלן תיאור של מיון זה:
בהנתן הרחבה <math>G</math> של חבורה <math>H</math> עם חבורה <math>N</math> אנו מקבלים פעולה של <math>G</math> על <math>N</math> (על ידי [[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]]). במילים אחרות אנו מקבלים הומומורפיזם <math>\omega:G\to Aut(N)</math> כאשר 
<math> Aut(N)</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של <math>N</math>. קל לראות שהומומורפיזם <math>\omega</math> מגדיר הומומורפיזם <math>\omega_0:H\to Out(N)</math> כאשר <math>Out(N)</math> היא [[חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים]] של <math>N</math> (ראו [[#חבורת האוטומורפיזמים של חבורה|להלן]]) של  <math>N</math>. מכאן, כדי למיין את כל ההרחבות של <math>H</math> ו- <math>N</math>, יש לענות על 2 השאלות הבאות:
# עבור אילו הומומורפיזמים <math>\omega_0:H\to Out(N)</math> קיימת הרחבה  <math>G</math> של <math>H</math> ו - <math>N</math> שנותנת את <math>\omega_0</math>?
# בהנתן הומומורפיזמים <math>\omega_0</math> כאלה, איך ממינים את כל ההרחבות שנותנות את <math>\omega_0</math>?
התשובה לשאלה הראשונה נתונה במונחים של איבר בחבורת [[קוהומולוגיה של חבורה|הקוהומולוגיה]] <math>H^3(H,Z(N))</math>. 
התשובה לשאלה השניה היא שהמיון נתון על ידי איברי חבורת הקוהומולגיה <math>H^2(H,Z(N))</math>. {{הערה|P. J. Morandi, [http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/GroupExtensions.pdf Group Extensions and ''H''<sup>3</sup>] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180517072932/http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/GroupExtensions.pdf |date=2018-05-17 }}. From his collection of short mathematical notes.}}

הערה: בשני המקרים הקוהומוליגיה היא ביחס לפעולה של <math>H</math>  על  <math>Z(N)</math>  הנתונה על ידי ההומומורפיזם <math>\omega_0:H\to Out(N)</math> (כל איבר ב - <math>Out(N)</math> מגדיר אוטומורפיזם של  <math>Z(N)</math>).

אומנם תיאור זה מפורש, אך במקרים רבים הוא רחוק מלתת תשובה מלאה. לדוגמה, אם <math>H</math>  ו-<math>N</math> הם מרחבים וקטוריים מעל שדה סופי {{F|q}} אז חישוב <math>H^2(H,N)</math> (ביחס לפעולה הטריוויאלית) שקול ל[[בעיות פראיות ומבויתות באלגברה ליניארית|בעיה פראית]] ב[[אלגברה ליניארית]], כך שאפילו בעיית המיון של הרחבות מרכזיות של חבורות אבליות היא פראית.{{הערה|שם=איאפשר}} כמו כן, אפילו המקרה של מכפלה חצי ישרה (או אפילו מכפלת זר), יכול להיות מאוד קשה למיון. לדוגמה, בעיית המיון של כל הפעולות של  <math>H</math>  על קבוצה סופית מכליה את בעיית המיון של תתי החבורת של <math>H</math> עד כדי הצמדה, שבתורה, במקרה ש- <math>H</math> היא חבורת התמורות, מכילה את בעיית המיון של כל החבורות.{{הערה|אצם העובדה שבעית המין של חבורות מכילה את עצמה כמקרה פרטי לא אומרת שהשיטה מובילה למבוי סתום. זאת מיכיון שאם מתמקדים במיון חבורות עד גודל נתון, תת-הבעיה שמתקבלת מיתחסת לגודל קטן בהרבה. כך שעובדה זאת לא שוללת את קימו של תיאות רקורסיבי. אך כאמור תיאור כזה אינו בנמצא.}}
{{סוגים של הרחבות של חבורות|הכלת הערות=לא}}

==מבנה==
===חבורת האוטומורפיזמים של חבורה===
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[חבורת האוטומורפיזמים של חבורה]], [[חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים]], [[אוטומורפיזם פנימי]] }}
אחת הבניות הבסיסיות של חבורה היא חבורת [[אוטומורפיזם|האוטומורפיזמים]] <math>Aut(X)</math> של אובייקט מתמטי <math>X</math>.  במקרה ש-<math>X</math> הוא חבורה סופית, קל לראות שחבורה זאת היא סופית. לכול חבורה <math>X</math> יש הומומורפיזם טבעי <math>X\to  Aut(X)</math> הנתון על ידי פעולת [[הצמדה (תורת החבורות)|ההצמדה]] (כל איבר <math>x</math> עבר לאוטומורפיזם המתקבל מההצמדה ב- <math>x</math>). הגרעין של ההומומורפיזם הזה הוא המרכז של <math>X</math>. התמונה של ההומומורפיזם הזה נקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של  <math>X</math> ומסומנת ב- <math>Inn(X)</math>. מ[[משפט האיזומורפיזם הראשון]] נובע ש- <math>Inn(X)\cong X/Z(X)</math>.

החבורה <math>Aut(X)/Inn(X)</math> נקראת חבורת האוטומורפיזמים החצוניים של <math>X</math> ומסומנת ב - <math>Out(X)</math>. החבורה <math>Aut(X)</math>  היא הרחבה של - <math>Out(X)</math> עם - <math>Inn(X)</math>. הרחבה זאת מהווה את אחת הדוגמאות החשובות להרחבה של חבורות (ראו [[#תת-חבורת פיטינג המוכללת|להלן]]).
הרחבה זאת לא תמיד מתפצלת (לדוגמה עם <math>X</math> היא [[החבורת הסימטרית]] על 6 איברים). אם  <math>X</math> היא חבורה סופית פשוטה אז יודעים לתאר במפורש את - <math>Out(X)</math> ו- <math>Aut(X)</math>, ובפרט יודעים לתאר מתי ההרחבה הנ"ל מתפצלת.{{הערה|[https://projecteuclid.org/journals/illinois-journal-of-mathematics/volume-47/issue-1-2/On-the-existence-of-a-complement-for-a-finite-simple/10.1215/ijm/1258488162.full]}}
כמו כן, ידוע שכש-<math>X</math> היא חבורה סופית פשוטה אז <math>Out(X)</math> תמיד פתירה (כמעט בכל המקרים היא קומוטטיבית).{{הערה|עובדה זאת שוארה על ידי שרייר ב-1926, וגהוכחה על ידי המין של חבורת פשוטיות סופיות. עד היום לא ידעה הוכחה אחרת. ראו [https://archive.org/details/permutationgroup0000dixo/page/132/mode/2up]}}

תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של חבורה פשוטה סופית המכילה את כל האוטומורפיזמי הפנימיים נקראת [[חבורה סופית קואזי פשוטה]].

===תתי חבורות קנוניות===
פירוק ז'ורדן-הולדר של חבורה סופית אינו יחיד. עם זאת, ישנן מספר [[סדרה נורמלית|סדרות נורמליות]] [[אובייקט קנוני|קנוניות]] (זאת אומרת סדרות מהסוג <math display="block">G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_k={1}</math> כך שתתי החבורות <math>G_i</math> מתוארות באופן קנוני) שנותנות דרכים קנוניות לנתח את המרכיבים של חבורה נתונה. על מנת להגדיר סידרה נורמלית קנונית עבור חבורה <math>G</math>, די להגדיר תת-חבורה (נורמלית, לא טריוויאלית) קנונית <math>H</math> של  <math>G</math>.  לאחר מכן יש להפעיל אותה בחירה קנונית על <math>G/H</math> ולהמשיך כך עד שמגיעים לחבורה טריוויאלית. באופן כללי, לא ניתן לקבל בצורה כזאת סידרת הרכב ל - <math>G</math>. זאת מכיון שחבורת תתי-חבורות קנוניות הן תמיד [[תת חבורה קרקטריסטית|קרקטריסטיות]] (זאת אומרת שהן אינווריאנטיות לגבי אוטומורפיזמים של <math>G</math>), ולא תמיד יש סידרת הרכב שבנויה מחבורת קרקטריסטיות (לדוגמה עבור [[חבורת קליין]] אין סדרה כזאת). אולם ניתן לקבל סדרות נורמליות עם מנות קלות לנתוח בהרהבה מהחבורה המקורית.

====תשתית של חבורה====
{{ערך מורחב|תשתית (אלגברה)}}
אחת הדרכים להגדיר תת-חבורה קנונית של כל חבורה היא [[תשתית של חבורה|התשתית]]. מושג זה הוא מקרה פרטי של מושג ה[[תשתית (אלגברה)|תשתית]] באלגברה המגדיר בהקשרים רבים תת-אובייקט קנוני.

התשתית של חבורה <math>G</math> היא התת-חבורה הנוצרת על ידי תת-חבורות נורמליות מינימליות של <math>G</math>. קל לראות שהתשתית של  <math>G</math> היא גם המכפלה של תת-החבורות הנורמליות מינימליות של <math>G</math> ושחבורת אלו הן פשוטות. התשתית של חבורה <math>G</math>  מסומנת בדרך כלל ב - <math>soc(G)</math>.
קל ליראות שאם <math>G</math> סופית ולא טריוויאלית אז התשתית שלה לא טריוואלית. מכאן, שאפשר להשתמש בתשתית כדי להגדיר סידרה נורמלית עבור <math>G</math>. המנות העוקבות של סידרה זאת יהיו מכפלות של חבורות פשוטות, כך שקל להפוך סידה זאת לסידרת הרכב על ידי בחירת סדר על החבורת הפשוטות האלה. סידרה זאת, כמובן איננה קנונית.

הסידרה הנורמלית הנתונה על ידי התשתיות מהווה כלי חשוב לחקר חבורות סופיות. יתרונה בכך שהיא מוגדרת עבור כל חבורה סופית וקרובה להיות סידרת הרכב. חסרונה הוא שהיא לא מספקת הבנה של ההרחבות בין המנות העוקבות. לכן, במקרים רבים מעדיפם להשתמש בתת-חבורת קנוניות אחרות.

====המרכז של חבורה====
{{ערך מורחב|מרכז של חבורה}}
המרכז של חבורה הוא אוסף האיברים בחבורה המתחלפים עם כל איבר בחבורה. המרכז של חבורה <math>G</math> מסומן בדרך כלל ב - <math>Z(G)</math>. לא לכל חבורה יש מרכז לא טריוויאלי. לכן לא לכל חבורה נויתן לבנות סידרת הרכב ממצה על ידי שימוש במרכז. חבורה תהייה [[חבורה נילפוטנטית]] [[אםם]] הסידרה המתקבלת על ידי הנוסחה הרקורסיבית <math>G_i=G_{i-1}/Z(G_{i-1})</math> (כאשר מתחילים מ-<math>G_0=G</math>) מגיעה לחבורה הטריוויאלית. במלים אחרות אם שימוש חוזר במרכז נותן סידרה נורמלית ממצה עבור <math>G</math>. המנות העוקבות של סידרה זאת הן [[חבורה אבלית|אבליות]].

====החבורה הנגזרת====
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[החבורה הנגזרת]], [[הליבה המושלמת]], [[השארית הנילפוטנטית]]}}
החבורה הנגזרת של חבורה <math>G</math> היא החבורה הנוצרת על ידי ביטויים מהסוג <math display="block">[a,b]:=aba^{-1}b^{-1}</math> כאשר <math>a,b\in G</math>. את הנגזרת מסמנים <math>[G,G]</math>
או <math>G'</math>. ניתן לקבל סידרה נורמלית באמצעות החבורה הנגזרת, באופן הדואלי לאופן שתואר מעלה: מגדרים רקורסיבית 
<math display="block">G_0=G; \quad G_{n+1}=G_n'</math>
סידרה זאת  נקראת סידרת הנגזרות של <math>G</math>. סידרה זאת לאו דווקה ממצה. היא ממצה (זאת אומרת ש <math>G_n=1</math> עבור <math>n</math> מספיק גדול) [[אם ורק אם]] החבורה <math>G</math> היא פתירה. אם החבורה לא פתירה, אז בשלב מסוים הסידרה נעצרת ב[[חבורה מושלמת]], זאת אומרת חבורה <math>H</math> המקיימת <math>H'=H</math>. חבורה זאת נקראת [[הליבה המושלמת]] של <math>G</math>. הליבה המושלמת של חבורה מושלמת היא החבורה עצמה.

סידרת הנגזרת מאפשרת להציג כל חבורה פתירה בתור הרחבה של חבורות אבליות באופן קנוני. כמו כן היא מאפשרת להציג כל חבורה סופית בתור הרחבה של חורה מושלמת וחבורה פתירה.


סידרה דומה לסדרת הניגזרות נקראת [[הסידרה המרכזית התחתונה]]. גם היא מתחילה בחבורה ההנגזרת, אך ממשיחה באופן שונה. היא מוגדרת על ידי הכלל הרקורסיבי 
<math display="block">G_0=G; \quad G_{n+1}=[G,G_n]</math> כאשר <math>[G,G_n]</math> היא החבורה הנוצרת על ידי ביטויים מהסוג <math>[a,b]</math> כאשר <math>a\in G; b\in G_n</math>.

סידרה זו ממצה [[אם ורק אם]] החבורה <math>G</math> היא [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]]. אם החבורה לא נילפוטנטית, אז בשלב מסוים הסידרה נעצרת בחבורה הנקראת [[שארית נילפוטנטית]] של <math>G</math>.{{הערה|השם מעט מטעה, ה[[שארית הנלפוטנטית]] איננה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]] אלה המנה על פיה היא נלפוטנטית}}

הסידרה המרכזית התחתונה מאפשרת להציג כל חבורה נילפוטנטית בתור הרחבה של חבורות אבליות באופן קנוני. סידרה זו שונה (באופן כללי) מסדרת המרכזים שתוארה מעלה. שימוש חוזר בשארית הנילפוטנטית מאפשרת להציג כל חבורה פתירה סופית כהרחבה של חבורות נילפוטנטיות.

====הרדיקל ה-p====
{{ערך מורחב|רדיקל של חבורה סופית}}
בהינתן מספר ראשוני p, הרדיקל ה-p של חבורה סופית  <math>G</math> מוגדר להיות תת-[[חבורת p|חבורת ה-p]] הנורמלית [[איבר מקסימלי|המקסימלית]] של <math>G</math>. קל לראות שמקסימום זה יחיד. מ[[משפטי סילו]] נובע שהרדיקל ה-p  של  <math>G</math> הוא החיתוך של כל [[חבורת p-סילו|חבורת ה-p-סילו]] של <math>G</math>. נהוג  לסמן את הרדיקל ה-p של <math>G</math> ב - <math>Rad_p(G)</math>.

מושג הרדיקל ה-p שימושי בעיקר עבור [[חבורות סופיות מטיפוס לי]] כשבוחרים את p להיות מציין השדה אשר באמצעותו מוגדרת החבורה. במקרה כזה, הרדיקל ה-p מקביל ל[[הרדיקל האויפוטנטי|רדיקל האוניפוטנטי]] של החבורה האלגברית המתאימה.

לא ניתן להשתמש ברדיקל ה-p כדי ליצור סידרה נורמלית ל - <math>G</math> (באורך גדול מ - 2). זאת מיכייון ש:
<math display="block">Rad_p(G/Rad_p(G))=\{1\}.</math>
לאומת זאת, הרדיקל ה-p, מאפשר להציג את  <math>G</math>  בתור הרחבה של  <math>G/Rad_p(G)</math> (שהיא חבורה עם רדיקל -p טריוויאלי) ו - <math>Rad_p(G)</math> שהיא חבורת p. הרחבה זו מקבילה ל[[פירוק לוי]] של [[חבורה אלגברית ליניארית|חבורות אלגבריות ליניאריות]].

====תת-חבורת פיטינג====
{{ערך מורחב|תת-חבורת פיטינג}}
[[תת-חבורת פיטינג]] של חבורה סופית  <math>G</math> מוגדרת להיות תת-[[חבורה נילפוטנטית|החבורה הנילפוטנטית]] הנורמלית [[איבר מקסימלי|המקסימלית]] של <math>G</math>. קל לראות שמקסימום זה יחיד. לעיתים קוראים לתת-חבורת פיטינג  "הרדיקל הנילפוטנטי".
נהוג  לסמן את תת-חבורת פיטינג של <math>G</math> ב - <math>F(G)</math> או <math>Rad(G)</math>. ניתן להראת כי <math display="block">F(G)=\prod_p Rad_p(G)</math> כאשר <math>p</math> רץ על כל [[מספר ראשוני|הראשוניים]].

חברת פיטינג יכולה להיות טריוויאלית (לדוגמה אם <math>G</math> היא [[חבורה פשוטה]] לא [[חבורה אבלית|אבלית]]). אולם אם <math>G</math> [[חבורה פתירה|פתירה]] 
(ולא טריוואלית) אז חבורת פיטינג לא טריוויאלית. למעשה, <math>G</math> היא [[חבורה פתירה|פתירה]] אםם אפשר לקבל, באמצעות תת-חבורות פיטינג סידרה נורמלית ממצה עבור  <math>G</math>. במקרה כזה, הגורמים של הסידרה הנורמלית יהיו חבורות נילפוטנטיות.

לתת-חבורת פיטינג יש תפקיד חשוב בהבנת המבה של חבורות פתירות בזכות [[משפט פיטינג]] הקובע כי אם  <math>G</math> פתירה אז המרכז של  <math>F(G)</math>  מוכל ב -<math>F(G)</math>.{{הערה|טענה 1.24 ב - [https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-8497-7]}} משפט זה, מאפשר (במקרה ש -  <math>G</math> פתירה) לשכן את <math>G/Z(F(G))</math> לתוך <math>Aut(F(G))</math> בצורה שתכיל את <math>Inn(F(G))</math>. במילם אחרות, עד כדי המרכז של <math>F(G)</math> החבורה <math>G</math> תהיה הרחבה של <math>F(G)</math> ותת-חבורה של <math>Out(F(G))</math>. ניתן לומר שמשפט פיטינג מאפשר להבין את המבנה של כל חבורה פתירה (ברמה מסוימת) באמצעות חבורת האוטומורפיזמים של חבורה נילפוטנטית.

==== תת-חבורת פרטיני ====
{{ערך מורחב|תת-חבורת פרטיני}}
תת-חבורה נאותה היא תת חבורה שאיננה כל החבורה. תת חבורה מקסימלית היא תת-חבורה נאותה שאננה מוכלת באף תת-חבורה נאותה אחרת. [[תת-חבורת פרטיני|תת חבורת פרטיני]] מוגדרת להיות החיתוך של כל התת-חבורות המקסימליות.

על פניו, מושג זה דואלי למושג ה[[תשתית של חבורה|תשתית]]. ואכן אם <math>G</math> חבורה סופית נילפוטנטית, אפשר לקבל משימוש חוזר בחבורת פרטיני סידרה נורמלית יורדת, באופן דואלי לסידרה הנורמלית העולה המתקבלת מהתשתית. אולם, אם <math>G</math> איננה נילפוטנטית, אז תת-חבורת פרטיני מתנהגת באופן שונה, ולא ניתן לקבל ממנה סידרה נורמלית ממצה.  תת-חבורת פרטיני  של חבורה סופית היא תמיד נילפוטנטית. מכאן שהיא תמיד מוכלת בתת-חבורת פיטינג. אם <math>G</math> היא חבורה סופית לא נילפוטנטית אז תת-חבורת פרטיני שווה לתת-חבורת פיטינג.

====השכבה====
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[חבורה סופית פשוטה למחצה]], [[שכבה של חבורה]]}}
תת-חבורת פיטינג לא יעילה כאשר החבורה <math>G</math> איננה פתירה. כדי לחקור את המבנה של חבורות שאינן פתירות פותח המושג של השכבה של חבורה. מושג זה משלים את חבורת פיטינג בכך שהשכבה רחוקה מאוד מלהיות פתירה או נילפוטנטית.  מושג השכבה מבוסס על המושג [[חבורה סופית פשוטה למחצה]] שבתורו מבוסס על המושג [[חבורה סופית כמעט פשוטה]]. 

[[חבורה סופית כמעט פשוטה]] היא [[הרחבה מרכזית]] [[חבורה מושלמת|מושלמת]] של [[חבורה פשוטה סופית]] לא [[חבורה אבלית|אבלית]]. חבורה סופית <math>G</math>  נקראת חבורה פשוטה למחצה אם קימות לה תתי-חבורות <math>H_i<G</math> כך ש:
* <math>H_i</math> פשוטות.
* <math>H_i</math> מתחלפות זו עם זו.
* <math>G=\prod H_i</math> (המכפלה לאו דווקה ישרה).

השכבה של <math>G</math> מוגדרת להיות התת-חבורה הפשוטה למחצה המקסימלית של <math>G</math>. היא מסומנת ב - <math>L(G)</math>. בדומה לחבורת פיטינג, גם השכבה יכולה להיות טריוויאלית (למשל אם <math>G</math> פתירה).

====תת-חבורת פיטינג המוכללת====
{{ערך מורחב|תת-חבורת פיטינג המוכללת}}
בעוד שתת-חבורות פיטינג וגם השיכבה יכולות להיות טריוויאליות עבור חבורה סופית כללית, השילוב שלהן לא יכול. תת-חבורת פיטינג המוכללת מוגדרת להיות המכפלה של תת-חבורת פיטינג והשיכבה.{{הערה|שם זה עלול להטעות. לא מודבר במושג שמכליל את חבורת פיטינג. שתהין מוגדרות לכול חבורה סופית והן שונות במקרים רבים. אולם חבורת פיטינג המוכללת מכילה את חבורת פיטינג. עמ החבורה היא פתירה אז הן מתלקדות. כמו כן חבורת פיטינג המוכללת עבור חבורה כללית  משחקת תפקיד דומה לזאת של חבורתר פיטינג עבור חבורה פתירה.}}
ניתן להראות שתת-חבורת פיטינג והשיכבה מתחלפות. ומכאן שתת-חבורת פיטינג המוכללת היא אכן תת-חבורה.
נהוג לסמן את תת-חבורת פיטינג המוכללת של <math>G</math> ב -  <math>F^*(G)</math>.

לתת-חבורת פיטינג המוכללת יש תפקיד חשוב בהבנת המבה של חבורת סופיות בזכות [[משפט בנדר]] הקובע כי המרכז של  <math>F^*(G)</math>  מוכל ב -<math>F^*(G)</math>.{{הערה|טענה 1.27 ב - [https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-8497-7]}} משפט זה, מאפשר  לשכן את <math>G/Z(F^*(G))</math> לתוך <math>Aut(F^*(G))</math> בצורה שתכיל את <math>Inn(F(G))</math>. במילם אחרות, עד כדי המרכז של <math>F^*(G)</math> החבורה <math>G</math> היא הרחבה של <math>F^*(G)</math> ותת-חבורה של <math>Out(F^*(G))</math>. ניתן לומר שמשפט בנדר מאפשר להבין את המבנה של כל חבורה סופית (ברמה מסוימת) באמצעות חבורת האוטומורפיזמים של מכפלה (מתחלפת) של חבורה פשוטה למחצה עם חבורה נילפוטנטית.

לתיאור זה של חבורה כללית באמצעות תת-חבורת פיטינג המוכללת שלה תפקיד משמעותי ב[[משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות]].{{הערה|פרק 1 ב - [https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-8497-7]}} 
{{תתי חבורת קנוניות של חבורה סופית}}

==משפטים על חבורות סופיות==
כאמור ישנם משפטים רבים התקפים לחבורות סופיות. להלן מספר דוגמאות:
* [[משפט קיילי]]
*[[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]
* [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]]
* [[משפטי סילו]]
* [[משפט ז'ורדן-הלדר]]
* [[משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות]]
** [[משפט הלדר (תורת החבורות)|משפט הלדר]] - כל חבורה מסדר שהוא מכפלה של פחות מ - 4 גורמים ראשוניים.
** [[משפט פייט-תומפסון]] - כל חבורה מסדר [[מספר אי-זוגי|אי-זוגי]] היא [[חבורה פתירה|פתירה]].
** [[משפט ברנסייד]] - כל חבורה שלסדר שלה יש רק 2 גורמים ראשוניים היא פתירה.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{בקרת זהויות}}