חבורה סופית

במתמטיקה ובפרט בתורת החבורות חבורה סופית היא חבורה בעלת מספר סופי של איברים. חקר החבורות הסופיות מהווה חלק חשוב בתורת החבורות. בעוד שעבור חבורות אין-ספיות בדרך כלל נדרש מבנה נוסף או לפחות תכונות נוספות כדי לקבל תורה מעניינת, יש תורה עשירה ועמוקה שתקפה עבור כל החבורות הסופיות.

מיון

אין מיון מלא ושימושיתבנית:הערה שמתאר את כל החבורת הסופיות. יש גם אינדיקציות רבות לכך שהדבר אינו אפשרי.תבנית:הערה אולם, אפשר לתת מיון חלקי שמספק מידע רב על המבנה האפשרי של חבורות סופיות.

הרחבה של חבורות

תבנית:ערך מורחב צעד הראשון בהבנת המבנה של חבורה כללית הוא האבחנה שאם לחבורה $G$ יש תת חבורה נורמלית $N$ אז ניתן להבין הרבה על $G$ מתוך החבורה $N$ וחבורת המנה $G/N$. במקרה כזה, החבורה $G$ נקראת הרחבה של החבורות $N$ ו - $G/N$.

חבורות פשוטות

תבנית:ערך מורחב אם $N$ היא החבורה טריוויאלית או ש - $N=G$ אז שיטה זאת להבנת מבנה החבורה $G$ נכשלת. בהתאם, אם ל - $G$ יש רק 2 תת-חבורות נורמליות ($G$ והחבורה הטריוויאלית) אז לא ניתן להשתמש בשיטה זאת. במקרה כזה $G$ נקראת חבורה פשוטה.

משפט ז'ורדן-הלדר

תבנית:ערך מורחב על ידי הפעלה חוזרת של הטיעון למעלה, קל לראות שבהנתן חבורה סופית $G$ ניתן למצא סדרה של חבורות $$G=G_0▹G_1▹\cdots ▹G_k=1$$ כך ש: $G_i/G_{i+1}$ היא חבורה פשוטה. במילים אחרות כל חבורה סופית מתקבלת מהרחבה חוזרת של חבורות סופיות פשוטות. סדרת החבורות $G_i$ נקראת סדרת הרכב של $G$ והמנות $G_i/G_{i+1}$ נקראות גורמי הסדרה.

משפט ז'ורדן-הלדר קובע כי אוסף הגורמים של סדרת הרכב תלוי רק בחבורה $G$ ולא בבחירת סדרת ההרכב. בהתאם, לגורמים אלה קוראים לעיתים גם הגורמים הפשוטים של $G$

לאור משפט זה ניתן לחלק את משימת המיון של חבורות סופיות לשתי משימות:

1. מיון כל החבורות הפשוטות.
2. מיון כל החבורות בעלות אוסף גורמים פשוטים נתון. במלים אחרות מיון כל הדרכים בהם ניתן להרחיב חבורות פשוטות אחת עם השניה (שוב ושוב).

המשימה הראשונה היתה קשה ביותר, והיא הושלמה באופן מספק למדי במהלך המאה ה-20 ומהווה את משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות. משפט זה מהווה את אחת התוצאות המורכבות במתמטיקה. לאומת זאת, המשימה השניה קשה בהרבה, נחשב שלא ניתן להציג לה פיתרון כללי ושימושי.תבנית:הערה אולם במקרים מסוימים ניתן לספק לה פתרונות חלקיים.

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

תבנית:ערך מורחב משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות קובע שכל חבורה סופית פשוטה שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:

1. החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
2. חבורות של תמורות זוגיות מסדר 5 ומעלה.
3. חבורות פשוטות סופית מטיפוס לי. חבורות אלה כוללות את החבורות הפשוטות הסופית הקלאסיות, את החבורת הפשוטות הסופיות מחמשת הטיפוסים המיוחדים של חבורות לי, ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
4. רשימה ידועה של 26 חבורות ספורדיות.

יש חיתוך מסוים בין קבוצות 2 ו - 3, אך חיתוך זה סופי (שלוש חבורות) וידוע באופן מפורש.תבנית:הערה

המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה. העבודה על המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים. משפט המיון הוא משפט מרכזי בתורת החבורות הסופיות, והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים.

חבורות אבליות

תבנית:ערך מורחב חבורה נקראת אבלית אם כל שני איברים $x,y$ בה מתחלפים (זאת אומרת $xy=yx$). מיון חבורות סופיות אבליות היא משימה פשוטה בהרבה. קל לראות שחבורות אבלית פשוטות הן בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני. גם המיון של חבורת אבליות סופיות כלליות אינו מסובך ומהווה מקרה פרטי של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית. לפי משפט זה כל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות סופיות. בדרך כלל, את אותה החבורה האבלית ניתן לכתוב במספר דרכים שונות בתור מכפלה של חבורות ציקליות סופיות. אולם, אם דורשים דברים נוספים מפרוק זה אז הוא נהיה יחיד. לדוגמה, כל חבורה אבלית סופית ניתן לכתוב באופן יחיד בתור מכפלה ישרה של חבורות ציקליות שסידרן הוא חזקת ראשוני.

חבורות פתירות

תבנית:ערך מורחב חבורות פתירות (סופיות) הן חבורות (סופיות) שגורמיהן הפשוטים הם חבורות אבליות. החבורת האבליות הפשוטות קלות מאוד לתיאור - אלו הן החבורות הציקליות מסדר ראשוני. אולם קשה מאוד לתאר את כל ההרחבות שלהן. בהרבה מובנים, עיקר הקושי במיון כל ההרחבות של חבורת פשוטות בא לידי ביטוי כבר במיון החבורות הפתירות.

חבורות נילפוטנטיות וחבורת p

תבנית:ערכים מורחבים החבורות הנילפוטנטיות מהוות מחלקה חשובה של חבורת פתירות. חבורה נילפוטנטית היא חבורה פתירה שקיימת עבורה סדרת הרכב מרכזית. זאת אומרת סדרת הרכב: $$G=G_0▹G_1▹\cdots ▹G_k=1$$ כך שהגורם $G_i/G_{i+1}$ הוא תת-חבורה של המרכז של $G/G_{i+1}$. במילים אחרות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה המתקבלת מהרחבות מרכזיות (ראו להלן) חוזרות.

המבנה של חבורות נילפוטנטיות קשור קשר הדוק למבנה של חבורת-$p$. עבור מספר ראשוני $p$, חבורת-$p$ היא חבורה שסדרה הוא חזקה של $p$. הקשר בין חבורות נילפוטנטוית וחבורות-$p$ ניתן על ידי המשפט הבא:

משפט: אם $G$ היא חבורה סופית אז הדברים הבאים שקולים:

• $G$ נילפוטנטית
• $G$ היא מכפלה ישרה של חבורת-$p$.

הפרוק של חבורה נילפוטנטית למכפלה של חבורת-$p$ הוא יחיד.

כדי להבין את המבנה של חבורות נילפוטנטיות די להבין את הבנה של חבורות-$p$. חבורות-$p$ הן חבורות המתקבלות מהרחבות (חוזרת) של החבורה הציקלית מסדר $p$ - $C_p$. למרות המבנה הפשוט של החבורה $C_p$ ולמרות העבדה שהרחבות כאלה חיבות להיות מרכזיות. תיאור מלא ושימושי של ההרחבות האלה באופן כללי נחשב למשימה בלתי אפשרית. אוסף חבורות ה-$p$ הוא עשיר מאוד. למעשה אחוז החבורות (עד סדר נתון $n$) שהן חבורת $2$ מתוך כל החבורת הנילפוטנטיות עד אותו הסדר שואף ל-1 כאשר $n$ שואף לאינסוף. משערים, שגם אחוז החבורות הנילפוטנטיות במין כל החבורת עד סדר $n$ שואף ל-1.תבנית:הערה

סוגים של הרחבות

תבנית:ערך מורחב אומנם מיון מלא ושימושי של הרחבות אינו בנמצא, אבל יש סוגים של הרחבות הקלים יותר להבנה.

מכפלה ישרה

תבנית:ערך מורחב הסוג הפשוט ביותר של הרחבה הוא מכפלה ישרה. בהינתן שתי חבורות $G,H$ המכפלה הישרה שלהן מסומנת ב - $G\times H$ ומהוה את אוסף כל הזוגות של איברים שהראשון בהם הוא איבר ב-$G$ והשני הוא איבר ב-$H$. המכפלה של זוגות כאלה מוגדרת על ידי $$(g_1,h_1)(g_2,h_2):=(g_1{g}_2,h_1{h}_2)$$

מכפלה ישרה נקראת גם הרחבה טריוויאלית.

מכפלה חצי-ישרה

תבנית:ערך מורחב חבורה $G$ נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות שלה $H,N<G$ אם מתקיים:

• $N$ נורמלית ב-$G$
• $H\cap N=\{1\}$
• $HN=G$, כלומר כל איבר ב-$G$ ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב-$H$ ואיבר ב-$N$.

המכפלות החצי-ישרות של $H$ ו-$N$ (עד כדי איזומורפיזם) ממוינות על-ידי פעלות של $H$ על $N$ (עד כדי יחס שקילות מתאים).

ככלל, ככול ש - $N$ "יותר קמוטטיבית" כך יש יותר דרכים ל - $H$ לפעול עליה (עד כדי הצמדה ב-$N$). לכן ככל של - $N$ יש ייותר גורמים קמוטטיביים, כך המכפלות החצי ישרות של $H$ ו - $N$ מאפשרות מגוון עשיר יותר של הרחבות.

מכפלה חצי ישרה נקראת גם "הרחבה מתפצלת".

מכפלת זר

תבנית:ערך מורחב מקרה פרטי של מכפלה חצי ישרה הוא מכפלת זר. במקרה זה $N$ היא מכפלה ישרה של מספר עותקים של חבורה $N_0$ והפעולה של $H$ על - $N$ היא על-ידי תמורות של עותקים אלו. אם כל הגורמים הפשוטים של חבורה $G$ הם לא אבליים אז ההרחבות בין הגורמים השונים דומות למדי למכפלות זר (אם כי לא בהכרח מתפצלות)תבנית:הערה

הרחבה מרכזית

תבנית:ערך מורחב בהינתן חבורה $G$ ותת-חבורה $N<Z(G)$ של המרכז של $G$ אומרים ש-$G$ היא הרחבה מרכזית של $G/N$ ע"י $N$. ניתן למיין הרחבות מרכזיות באמצעות כלים של אלגברה הומולוגית. ההרחבות המרכזיות של חבורה $H$ ע"י חבורה אבלית $N$ ממוינות על ידי הקוהומולוגיה $$H^2(H,N)$$

אם $H$ חבורה מושלמת, אז הבעיה נהיית פשוטה יותר. בפרט מתקיים $$H^2(H,N)=H^2(H,\mathbb{Z})\otimes N$$.

אם $H$ חבורה סופית אז החבורה $H^2(H,\mathbb{Z})$ היא חבורה סופית. חבורה זו נקראת כופל שור של $H$. לחבורה סופית מושלמת $H$ יש הרחבה מרכזית $\tilde{H}$ ע"י כופל שור שלה שנקראת ההרחבה המרכזית האונברסלית של $H$. כל הרחבה מרכזית מושלמת של $H$ היא מנה של $\tilde{H}$ בתת-חבורה של $H^2(H,\mathbb{Z})$.

כחלק ממשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות מוינו גם כל ההרחבות המרכזיות של חבורות אלו.

מיון של הרחבות

תבנית:ערך מורחב ניתן למיין את כל ההרחבות של 2 חבורות בכלים של אלגברה הומולוגית. מיון זה נקרא לעיתים תורת שרייר.תבנית:הערה להלן תיאור של מיון זה: בהנתן הרחבה $G$ של חבורה $H$ עם חבורה $N$ אנו מקבלים פעולה של $G$ על $N$ (על ידי הצמדה). במילים אחרות אנו מקבלים הומומורפיזם $\omega :G\to Aut(N)$ כאשר $Aut(N)$ היא חבורת האוטומורפיזמים של $N$. קל לראות שהומומורפיזם $\omega$ מגדיר הומומורפיזם ${\omega }_0:H\to Out(N)$ כאשר $Out(N)$ היא חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של $N$ (ראו להלן) של $N$. מכאן, כדי למיין את כל ההרחבות של $H$ ו- $N$, יש לענות על 2 השאלות הבאות:

1. עבור אילו הומומורפיזמים ${\omega }_0:H\to Out(N)$ קיימת הרחבה $G$ של $H$ ו - $N$ שנותנת את ${\omega }_0$?
2. בהנתן הומומורפיזמים ${\omega }_0$ כאלה, איך ממינים את כל ההרחבות שנותנות את ${\omega }_0$?

התשובה לשאלה הראשונה נתונה במונחים של איבר בחבורת הקוהומולוגיה $H^3(H,Z(N))$. התשובה לשאלה השניה היא שהמיון נתון על ידי איברי חבורת הקוהומולגיה $H^2(H,Z(N))$. תבנית:הערה

הערה: בשני המקרים הקוהומוליגיה היא ביחס לפעולה של $H$ על $Z(N)$ הנתונה על ידי ההומומורפיזם ${\omega }_0:H\to Out(N)$ (כל איבר ב - $Out(N)$ מגדיר אוטומורפיזם של $Z(N)$).

אומנם תיאור זה מפורש, אך במקרים רבים הוא רחוק מלתת תשובה מלאה. לדוגמה, אם $H$ ו-$N$ הם מרחבים וקטוריים מעל שדה סופי תבנית:F אז חישוב $H^2(H,N)$ (ביחס לפעולה הטריוויאלית) שקול לבעיה פראית באלגברה ליניארית, כך שאפילו בעיית המיון של הרחבות מרכזיות של חבורות אבליות היא פראית.תבנית:הערה כמו כן, אפילו המקרה של מכפלה חצי ישרה (או אפילו מכפלת זר), יכול להיות מאוד קשה למיון. לדוגמה, בעיית המיון של כל הפעולות של $H$ על קבוצה סופית מכליה את בעיית המיון של תתי החבורת של $H$ עד כדי הצמדה, שבתורה, במקרה ש- $H$ היא חבורת התמורות, מכילה את בעיית המיון של כל החבורות.תבנית:הערה תבנית:סוגים של הרחבות של חבורות

מבנה

חבורת האוטומורפיזמים של חבורה

תבנית:ערכים מורחבים אחת הבניות הבסיסיות של חבורה היא חבורת האוטומורפיזמים $Aut(X)$ של אובייקט מתמטי $X$. במקרה ש-$X$ הוא חבורה סופית, קל לראות שחבורה זאת היא סופית. לכול חבורה $X$ יש הומומורפיזם טבעי $X\to Aut(X)$ הנתון על ידי פעולת ההצמדה (כל איבר $x$ עבר לאוטומורפיזם המתקבל מההצמדה ב- $x$). הגרעין של ההומומורפיזם הזה הוא המרכז של $X$. התמונה של ההומומורפיזם הזה נקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של $X$ ומסומנת ב- $Inn(X)$. ממשפט האיזומורפיזם הראשון נובע ש- $Inn(X)\cong X/Z(X)$.

החבורה $Aut(X)/Inn(X)$ נקראת חבורת האוטומורפיזמים החצוניים של $X$ ומסומנת ב - $Out(X)$. החבורה $Aut(X)$ היא הרחבה של - $Out(X)$ עם - $Inn(X)$. הרחבה זאת מהווה את אחת הדוגמאות החשובות להרחבה של חבורות (ראו להלן). הרחבה זאת לא תמיד מתפצלת (לדוגמה עם $X$ היא החבורת הסימטרית על 6 איברים). אם $X$ היא חבורה סופית פשוטה אז יודעים לתאר במפורש את - $Out(X)$ ו- $Aut(X)$, ובפרט יודעים לתאר מתי ההרחבה הנ"ל מתפצלת.תבנית:הערה כמו כן, ידוע שכש-$X$ היא חבורה סופית פשוטה אז $Out(X)$ תמיד פתירה (כמעט בכל המקרים היא קומוטטיבית).תבנית:הערה

תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של חבורה פשוטה סופית המכילה את כל האוטומורפיזמי הפנימיים נקראת חבורה סופית קואזי פשוטה.

תתי חבורות קנוניות

פירוק ז'ורדן-הולדר של חבורה סופית אינו יחיד. עם זאת, ישנן מספר סדרות נורמליות קנוניות (זאת אומרת סדרות מהסוג $$G=G_0▹G_1▹\cdots ▹G_k=1$$ כך שתתי החבורות $G_i$ מתוארות באופן קנוני) שנותנות דרכים קנוניות לנתח את המרכיבים של חבורה נתונה. על מנת להגדיר סידרה נורמלית קנונית עבור חבורה $G$, די להגדיר תת-חבורה (נורמלית, לא טריוויאלית) קנונית $H$ של $G$. לאחר מכן יש להפעיל אותה בחירה קנונית על $G/H$ ולהמשיך כך עד שמגיעים לחבורה טריוויאלית. באופן כללי, לא ניתן לקבל בצורה כזאת סידרת הרכב ל - $G$. זאת מכיון שחבורת תתי-חבורות קנוניות הן תמיד קרקטריסטיות (זאת אומרת שהן אינווריאנטיות לגבי אוטומורפיזמים של $G$), ולא תמיד יש סידרת הרכב שבנויה מחבורת קרקטריסטיות (לדוגמה עבור חבורת קליין אין סדרה כזאת). אולם ניתן לקבל סדרות נורמליות עם מנות קלות לנתוח בהרהבה מהחבורה המקורית.

תשתית של חבורה

תבנית:ערך מורחב אחת הדרכים להגדיר תת-חבורה קנונית של כל חבורה היא התשתית. מושג זה הוא מקרה פרטי של מושג התשתית באלגברה המגדיר בהקשרים רבים תת-אובייקט קנוני.

התשתית של חבורה $G$ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי תת-חבורות נורמליות מינימליות של $G$. קל לראות שהתשתית של $G$ היא גם המכפלה של תת-החבורות הנורמליות מינימליות של $G$ ושחבורת אלו הן פשוטות. התשתית של חבורה $G$ מסומנת בדרך כלל ב - $soc(G)$. קל ליראות שאם $G$ סופית ולא טריוויאלית אז התשתית שלה לא טריוואלית. מכאן, שאפשר להשתמש בתשתית כדי להגדיר סידרה נורמלית עבור $G$. המנות העוקבות של סידרה זאת יהיו מכפלות של חבורות פשוטות, כך שקל להפוך סידה זאת לסידרת הרכב על ידי בחירת סדר על החבורת הפשוטות האלה. סידרה זאת, כמובן איננה קנונית.

הסידרה הנורמלית הנתונה על ידי התשתיות מהווה כלי חשוב לחקר חבורות סופיות. יתרונה בכך שהיא מוגדרת עבור כל חבורה סופית וקרובה להיות סידרת הרכב. חסרונה הוא שהיא לא מספקת הבנה של ההרחבות בין המנות העוקבות. לכן, במקרים רבים מעדיפם להשתמש בתת-חבורת קנוניות אחרות.

המרכז של חבורה

תבנית:ערך מורחב המרכז של חבורה הוא אוסף האיברים בחבורה המתחלפים עם כל איבר בחבורה. המרכז של חבורה $G$ מסומן בדרך כלל ב - $Z(G)$. לא לכל חבורה יש מרכז לא טריוויאלי. לכן לא לכל חבורה נויתן לבנות סידרת הרכב ממצה על ידי שימוש במרכז. חבורה תהייה חבורה נילפוטנטית אםם הסידרה המתקבלת על ידי הנוסחה הרקורסיבית $G_i=G_{i-1}/Z(G_{i-1})$ (כאשר מתחילים מ-$G_0=G$) מגיעה לחבורה הטריוויאלית. במלים אחרות אם שימוש חוזר במרכז נותן סידרה נורמלית ממצה עבור $G$. המנות העוקבות של סידרה זאת הן אבליות.

החבורה הנגזרת

תבנית:ערכים מורחבים החבורה הנגזרת של חבורה $G$ היא החבורה הנוצרת על ידי ביטויים מהסוג $$[a,b]:=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$$ כאשר $a,b\in G$. את הנגזרת מסמנים $[G,G]$ או $G^{\prime }$. ניתן לקבל סידרה נורמלית באמצעות החבורה הנגזרת, באופן הדואלי לאופן שתואר מעלה: מגדרים רקורסיבית $$G_0=G;G_{n+1}={G_n}^{\prime }$$ סידרה זאת נקראת סידרת הנגזרות של $G$. סידרה זאת לאו דווקה ממצה. היא ממצה (זאת אומרת ש $G_n=1$ עבור $n$ מספיק גדול) אם ורק אם החבורה $G$ היא פתירה. אם החבורה לא פתירה, אז בשלב מסוים הסידרה נעצרת בחבורה מושלמת, זאת אומרת חבורה $H$ המקיימת $H^{\prime }=H$. חבורה זאת נקראת הליבה המושלמת של $G$. הליבה המושלמת של חבורה מושלמת היא החבורה עצמה.

סידרת הנגזרת מאפשרת להציג כל חבורה פתירה בתור הרחבה של חבורות אבליות באופן קנוני. כמו כן היא מאפשרת להציג כל חבורה סופית בתור הרחבה של חורה מושלמת וחבורה פתירה.

סידרה דומה לסדרת הניגזרות נקראת הסידרה המרכזית התחתונה. גם היא מתחילה בחבורה ההנגזרת, אך ממשיחה באופן שונה. היא מוגדרת על ידי הכלל הרקורסיבי $$G_0=G;G_{n+1}=[G,G_n]$$ כאשר $[G,G_n]$ היא החבורה הנוצרת על ידי ביטויים מהסוג $[a,b]$ כאשר $a\in G;b\in G_n$.

סידרה זו ממצה אם ורק אם החבורה $G$ היא נילפוטנטית. אם החבורה לא נילפוטנטית, אז בשלב מסוים הסידרה נעצרת בחבורה הנקראת שארית נילפוטנטית של $G$.תבנית:הערה

הסידרה המרכזית התחתונה מאפשרת להציג כל חבורה נילפוטנטית בתור הרחבה של חבורות אבליות באופן קנוני. סידרה זו שונה (באופן כללי) מסדרת המרכזים שתוארה מעלה. שימוש חוזר בשארית הנילפוטנטית מאפשרת להציג כל חבורה פתירה סופית כהרחבה של חבורות נילפוטנטיות.

הרדיקל ה-p

תבנית:ערך מורחב בהינתן מספר ראשוני p, הרדיקל ה-p של חבורה סופית $G$ מוגדר להיות תת-חבורת ה-p הנורמלית המקסימלית של $G$. קל לראות שמקסימום זה יחיד. ממשפטי סילו נובע שהרדיקל ה-p של $G$ הוא החיתוך של כל חבורת ה-p-סילו של $G$. נהוג לסמן את הרדיקל ה-p של $G$ ב - $Ra{d}_p(G)$.

מושג הרדיקל ה-p שימושי בעיקר עבור חבורות סופיות מטיפוס לי כשבוחרים את p להיות מציין השדה אשר באמצעותו מוגדרת החבורה. במקרה כזה, הרדיקל ה-p מקביל לרדיקל האוניפוטנטי של החבורה האלגברית המתאימה.

לא ניתן להשתמש ברדיקל ה-p כדי ליצור סידרה נורמלית ל - $G$ (באורך גדול מ - 2). זאת מיכייון ש: $$Ra{d}_p(G/Ra{d}_p(G))=\{1\}.$$ לאומת זאת, הרדיקל ה-p, מאפשר להציג את $G$ בתור הרחבה של $G/Ra{d}_p(G)$ (שהיא חבורה עם רדיקל -p טריוויאלי) ו - $Ra{d}_p(G)$ שהיא חבורת p. הרחבה זו מקבילה לפירוק לוי של חבורות אלגבריות ליניאריות.

תת-חבורת פיטינג

תבנית:ערך מורחב תת-חבורת פיטינג של חבורה סופית $G$ מוגדרת להיות תת-החבורה הנילפוטנטית הנורמלית המקסימלית של $G$. קל לראות שמקסימום זה יחיד. לעיתים קוראים לתת-חבורת פיטינג "הרדיקל הנילפוטנטי". נהוג לסמן את תת-חבורת פיטינג של $G$ ב - $F(G)$ או $Rad(G)$. ניתן להראת כי $$F(G)=\prod _{p}Ra{d}_p(G)$$ כאשר $p$ רץ על כל הראשוניים.

חברת פיטינג יכולה להיות טריוויאלית (לדוגמה אם $G$ היא חבורה פשוטה לא אבלית). אולם אם $G$ פתירה (ולא טריוואלית) אז חבורת פיטינג לא טריוויאלית. למעשה, $G$ היא פתירה אםם אפשר לקבל, באמצעות תת-חבורות פיטינג סידרה נורמלית ממצה עבור $G$. במקרה כזה, הגורמים של הסידרה הנורמלית יהיו חבורות נילפוטנטיות.

לתת-חבורת פיטינג יש תפקיד חשוב בהבנת המבה של חבורות פתירות בזכות משפט פיטינג הקובע כי אם $G$ פתירה אז המרכז של $F(G)$ מוכל ב -$F(G)$.תבנית:הערה משפט זה, מאפשר (במקרה ש - $G$ פתירה) לשכן את $G/Z(F(G))$ לתוך $Aut(F(G))$ בצורה שתכיל את $Inn(F(G))$. במילם אחרות, עד כדי המרכז של $F(G)$ החבורה $G$ תהיה הרחבה של $F(G)$ ותת-חבורה של $Out(F(G))$. ניתן לומר שמשפט פיטינג מאפשר להבין את המבנה של כל חבורה פתירה (ברמה מסוימת) באמצעות חבורת האוטומורפיזמים של חבורה נילפוטנטית.

תת-חבורת פרטיני

תבנית:ערך מורחב תת-חבורה נאותה היא תת חבורה שאיננה כל החבורה. תת חבורה מקסימלית היא תת-חבורה נאותה שאננה מוכלת באף תת-חבורה נאותה אחרת. תת חבורת פרטיני מוגדרת להיות החיתוך של כל התת-חבורות המקסימליות.

על פניו, מושג זה דואלי למושג התשתית. ואכן אם $G$ חבורה סופית נילפוטנטית, אפשר לקבל משימוש חוזר בחבורת פרטיני סידרה נורמלית יורדת, באופן דואלי לסידרה הנורמלית העולה המתקבלת מהתשתית. אולם, אם $G$ איננה נילפוטנטית, אז תת-חבורת פרטיני מתנהגת באופן שונה, ולא ניתן לקבל ממנה סידרה נורמלית ממצה. תת-חבורת פרטיני של חבורה סופית היא תמיד נילפוטנטית. מכאן שהיא תמיד מוכלת בתת-חבורת פיטינג. אם $G$ היא חבורה סופית לא נילפוטנטית אז תת-חבורת פרטיני שווה לתת-חבורת פיטינג.

השכבה

תבנית:ערכים מורחבים תת-חבורת פיטינג לא יעילה כאשר החבורה $G$ איננה פתירה. כדי לחקור את המבנה של חבורות שאינן פתירות פותח המושג של השכבה של חבורה. מושג זה משלים את חבורת פיטינג בכך שהשכבה רחוקה מאוד מלהיות פתירה או נילפוטנטית. מושג השכבה מבוסס על המושג חבורה סופית פשוטה למחצה שבתורו מבוסס על המושג חבורה סופית כמעט פשוטה.

חבורה סופית כמעט פשוטה היא הרחבה מרכזית מושלמת של חבורה פשוטה סופית לא אבלית. חבורה סופית $G$ נקראת חבורה פשוטה למחצה אם קימות לה תתי-חבורות $H_i<G$ כך ש:

• $H_i$ פשוטות.
• $H_i$ מתחלפות זו עם זו.
• $G=\prod H_i$ (המכפלה לאו דווקה ישרה).

השכבה של $G$ מוגדרת להיות התת-חבורה הפשוטה למחצה המקסימלית של $G$. היא מסומנת ב - $L(G)$. בדומה לחבורת פיטינג, גם השכבה יכולה להיות טריוויאלית (למשל אם $G$ פתירה).

תת-חבורת פיטינג המוכללת

תבנית:ערך מורחב בעוד שתת-חבורות פיטינג וגם השיכבה יכולות להיות טריוויאליות עבור חבורה סופית כללית, השילוב שלהן לא יכול. תת-חבורת פיטינג המוכללת מוגדרת להיות המכפלה של תת-חבורת פיטינג והשיכבה.תבנית:הערה ניתן להראות שתת-חבורת פיטינג והשיכבה מתחלפות. ומכאן שתת-חבורת פיטינג המוכללת היא אכן תת-חבורה. נהוג לסמן את תת-חבורת פיטינג המוכללת של $G$ ב - $F^{*}(G)$.

לתת-חבורת פיטינג המוכללת יש תפקיד חשוב בהבנת המבה של חבורת סופיות בזכות משפט בנדר הקובע כי המרכז של $F^{*}(G)$ מוכל ב -$F^{*}(G)$.תבנית:הערה משפט זה, מאפשר לשכן את $G/Z(F^{*}(G))$ לתוך $Aut(F^{*}(G))$ בצורה שתכיל את $Inn(F(G))$. במילם אחרות, עד כדי המרכז של $F^{*}(G)$ החבורה $G$ היא הרחבה של $F^{*}(G)$ ותת-חבורה של $Out(F^{*}(G))$. ניתן לומר שמשפט בנדר מאפשר להבין את המבנה של כל חבורה סופית (ברמה מסוימת) באמצעות חבורת האוטומורפיזמים של מכפלה (מתחלפת) של חבורה פשוטה למחצה עם חבורה נילפוטנטית.

לתיאור זה של חבורה כללית באמצעות תת-חבורת פיטינג המוכללת שלה תפקיד משמעותי במשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות.תבנית:הערה תבנית:תתי חבורת קנוניות של חבורה סופית

משפטים על חבורות סופיות

כאמור ישנם משפטים רבים התקפים לחבורות סופיות. להלן מספר דוגמאות:

• משפט קיילי
• משפט לגראנז'
• משפט קושי
• משפטי סילו
• משפט ז'ורדן-הלדר
• משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות
  • משפט הלדר - כל חבורה מסדר שהוא מכפלה של פחות מ - 4 גורמים ראשוניים.
  • משפט פייט-תומפסון - כל חבורה מסדר אי-זוגי היא פתירה.
  • משפט ברנסייד - כל חבורה שלסדר שלה יש רק 2 גורמים ראשוניים היא פתירה.