הצגת המקור של הדף "טיוטה:אי-שיוויונות עקבה"

{{בעבודה אקדמית|יעד=1 מאי 2025}}
[[מתמטיקה|במתמטיקה]], אי שוויונות [[עקבה]] הוא שם כולל לאוסף אי-שיוויונות העוסקים ב[[מטריצה|מטריצות]] , ולכן גם ב[[העתקה לינארית|אופרטורים הלינארים]] שמייצגות, המוגדרות מעל [[מרחב הילברט|מרחבי הילברט]]. אי-שיוויונות אלה בפרט מתעסקים בעקבה של מטריצות ומספקים חסמים על העקבה תחת הנחות מסוימות.

העקבה של מטריצה ידועה להיות ערך שאינו תלוי בבחירת [[בסיס (אלגברה) | הבסיס]] מה שהופך אותה להיות בעלת חשיבות רבה לחקר אופרטורים (שכן מקודדת בתוכה מידע שאינו תלוי בבסיס הנבחר).
בנוסף לעקבה של מטריצה יש קשר ישיר ל[[ספקטרום של מטריצה|ספקטרום]] שלה מהיותה שווה לסכום הערכים העצמיים של המטריצה. תכונות אלה ועוד הופכות את אי-שיוויונות העקבה לכלי שימושי וחשוב בחקר אופרטרים ולמידתם. 

אי שוויונות עקבה הם כלי שימושי בתחומים רבים כמו [[תורת הבקרה]], [[תורת האינפורמציה הקוונטית]], מערכות תקשורת ו-[[פונקציה מטריציאלית|פונקציות מטריציאליות]].

== הגדרות רלוונטיות ==
=== פונקציות מטריציאליות ===

נרצה קודם להגדיר היטב הפעלה של פונקציה  <math>f</math> על מטריצה  <math>A</math>. כדי לבצע זו בצורה בעלת עניין נגביל את עצמנו קודם לאוסף [[אופרטור_הרמיטי|המטריצות ההרמטיות]] [[מטריצה_חיובית|החיוביות]] <math>\mathbf{H}_n</math>, שלפי [[משפט הפירוק הספקטרלי]] הן [[מטריצה לכסינה|מטריצות לכסינות]] מה שמאפשר לנו להשתמש בהגדרה הבאה:

יהי <math>f: I \rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה ממשית , אז <math>f(A)</math> (כאשר <math>A</math>
מטריצה הרמטית עם ערכים עצמיים ב-<math>I</math> ו-<math>P_j</math> [[הטלה (מתמטיקה)|הטלות]] למרחבים העצמיים של המטריצה) מוגדר כ:<math display=block>f(A) \equiv \sum_j f(\lambda_j)P_j</math>

=== יחס סדר חלקי ומונוטוניות האופרטור === 

לאורך הערך נניח [[סדר חלקי|יחס סדר חלקי]] על הקבוצה <math>\mathbf{H}_n</math> כך ש <math>A \geq B </math> גורר שהאופרטור <math>A-B \geq 0</math>
מוגדר חיובית. 

עם הגדרה זו ביד קל להגדיר מונוטניות לפונקציה מטריציאלית <math>f: I \rightarrow \mathbb{R}</math> אם לכל <math>A,B \in \mathbf{H}_n</math> וערכים עצמיים ב<math>I</math> ישנה הגרירה: <math display=block>A \geq B \rightarrow f(A) \geq f(B) </math>.

<math>f</math> כזו תיקורא אופרטור מונוטוני. 
אמנם הגדרת המונוטוניות לאופרטורים נראת די שקולה להגדרה עבור פונקציות ממשיות אך ניתן לראות שהיא לפעמים נוגדת את האינטואציה שכן <math>f(A)=A^2</math>
אינו אופרטור מונוטוני.

=== אופרטור קמור ===

יהי <math>f: I \rightarrow \mathbb{R}</math>. 
<math>f</math> תיקרא אופרטור קמור אם לכל <math>A,B \in \mathbf{H}_n</math> עם ערכים עצמים ב- <math>I
</math> , ו-<math>0<\lambda <1</math> התנאי הבא קורה:
<math display=block>f(\lambda A + (1-\lambda)B) \leq \lambda f(A) + (1-\lambda)f(B)</math>

<math>f</math> תיקרא אופרטור קעור אם <math>-f</math> אופרטור קמור.

== אי-שוויון גולדן-תומפסון == 

יהי <math>A,B \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> מטריצות הרמטיות אזי מתקיים אי השוויון הבא:

<math display="block">\text{Tr} e^{A+B} \leq \text{Tr} ( e^A e^B )</math>

יש להבחין שהאי-שוויון מוגדר היטב שכן שני הביטויים מובטחים להיות מספרים ממשיים .עבור צד שמאל קל לראות זאת שכן <math>A,B</math> הרמטיות ולכן האלכסון שלהם ממשי, עבור צד ימין ניתן להשתמש בעובדה שעבור מכפלה של 3 מטריצות סימטריות העקבה אינווריאנטית לפרמוטציות ולכן:

<math>\text{Tr} ( e^{A}e^{B}) = \text{Tr} ( e^{A/2} e^{A/2} e^{B}) = \text{Tr}(e^{A/2} e^{B}e^{A/2})</math>

וקיבלנו שהביטוי בתוך העקבה הינו הרמטי שכן <math>A,B</math> הרמטיות ובנוסף <math>e^{A^{*}}=(e^{A})^{*}</math> . 

דרך נוספת לתיאור האי-שוויון היא בעזרת [[נורמה של מטריצות|נורמת פרובניוס]] שמוגדרת להיות:
<math>\Vert A \Vert _{F} = \sqrt{\text{Tr} (A^{*}A)}</math> ואז אי-שוויון גולדן תומפסון שקול ל:

<math>\Vert e^{A+B} \Vert _{F} \leq \Vert e^{A} e^{B} \Vert _{F}</math>

דבר מפתיע באי שוויון זה שאין שום הנחה על קומוטטיביות של המטריצות. עבור מטריצות הרמטיות וקומוטטיביות מתקיים שוויון <math>e^{A+B} = e^A e^B</math> , גולדן-תומפסון מראה לנו שאם מורידים את דרישת הקומוטטיביות עדיין יש קשר בין שני ערכים אלה. 

כעת נראה את עיקר ההוכחה {{הערה|https://terrytao.wordpress.com/2010/07/15/the-golden-thompson-inequality/}} של משפט זה, ההוכחה היא יישום של רעיון כללי יותר להוכחות אי-שוויונות בשם "טריק חזקות הטנזורים" {{הערה|https://www.tricki.org/article/The_tensor_power_trick}}. בגישה זו אנו רוצים להוכיח <math>X \leq Y
</math> עבור <math>X,Y
</math> אי-שלילים אך יודעים רק להוכיח אי שוויונות חלשים יותר מהצורה <math>X \leq CY</math> עד לכדי גורם כפלי <math>C</math> כלשהו. מפה הרעיון הוא להחליף את כל האוביקטים באי השוויון בחזקות של עצמם כדי להגיע לצורה של: <math>X^M \leq  C Y^M</math> כאשר <math>C</math> אינו תלוי ב<math>M</math>. לאחר מכן מפעילים גבול כאשר <math>M \rightarrow \infty</math> על <math>X \leq C^{\frac{1}{M}}Y</math> כדי להגיע לאי השוויון הנדרש. 

{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|כותרת={{עוגן|הוכחה|''סקיצה של ההוכחה''}}|תוכן=
נגדיר את נורמת סקאטן: <math>\Vert A \Vert _{p} = (\text{Tr}(A A^*)^{p/2})^{1/p}</math> עבור <math>p</math> זוגי. דרך אחת להסתכל על נורמה זו היא כהכללה לא קומוטטיבית של נורמת <math>\ell^{p}</math> המוכרת (לדוגמא עבור מטריצות אלכסוניות הנורמה של המטריצה מסכימה עם נורמת <math>\ell^p </math> של אלכסון המטריצה).

כעת נסתכל ספציפית על <math>\Vert A \Vert _2 = (\text{Tr} (A A^*) )^{1/2}</math> ששקולה לנורמת פרובניוס שהראנו למעלה. נורמה זו מושרת מהמכפלה הפנימית <math>\langle A,B \rangle = \text{Tr}(AB^*)</math>. 
על ידי הפעלה של [[אי-שוויון קושי-שוורץ]] ניתן לקבל <math>|\text{Tr}(A_1 A_2)| \leq \Vert A_1 \Vert _2 \Vert A_2 \Vert _2 </math>. על ידי הפעלה חוזרת של אי שוויון זה ניתן לקבל את אי-שוויון הולדר הלא קומוטטיבי:

<math display="block">|\text{Tr}(A_1 A_2 \dots A_p)| \leq \Vert A_1 \Vert _p \Vert A_2 \Vert _p \dots \Vert A_p \Vert_p </math>

עבור <math>p</math> חזקה של 2. (הרעיון הוא לבצע אינדוקציה על <math>p</math>, על ידי חלוקת <math>A_1, \cdots ,A_p </math> ל<math>p/2</math> לזוגות ושימוש בתכונות העקבה). 
 
מכאן מפעילים את אי-השוויון על <math>A_1 = A_2 = \dots = A_p = AB</math> עבור מטריצות הרמטיות <math>A,B</math> כדי לקבל:
<math display="block">\text{Tr}((AB)^p) \leq \Vert AB \Vert^{p}_{p}</math>

על ידי שימוש באינווריאנטיות העקבה לפרמוטציות סיבוביות ניתן להסיק כי <math>\text{Tr}((AB)^p) \leq \text{Tr}((A^2 B^2)^{p/2})</math>. הפעלה חוזרת של שיטה זו מניבה <math>\text{Tr}((AB)^p) \leq \text{Tr}(A^p B^p)</math>. כעת נחליף את <math>A,B</math> ב-<math>e^{A/p}, e^{B/p}</math> ונגיע ל <math>\text{Tr}((e^{A/p} e^{B/p})^p) \leq \text{Tr}(e^A e^B)</math>. 

השלב הבא בהוכחה הוא מעבר גבולי מאוסף האי שוויוניות שהשגנו שתלויים ב-<math>p</math> לאי שוויון הרצוי. נזכור כי <math>e^{A/p} = 1 + A/p + O(1/p^2)</math> ובאופן דומה <math>e^{B/p} = 1 + B/p + O(1/p^2) </math>. על ידי הכפלת הגורמים נסיק כי <math>e^{A/p}e^{B/p} = e^{(A+B)/p} +O(1/p^2)</math>. לכן קיבלנו אוסף של אי שוויונים מהצורה:
<math display=block>\text{Tr}(e^{A+B+O(1/p)}) \leq \text{Tr}(e^A e^B)</math>

על ידי הפעלת הגבול <math>p \rightarrow \infty</math> מקבלים את אי שוויון גולדן-תומסון.
}}

=== שימושים של אי-שיוויון גולדן-תומפסון בהסתברות רב מימדית===

אי שיוויונות ריכוז בהסתברות הן אי שיוויונות המתעסקים בריכוז בסטייה של התפלגות מהתוחלת. אי שיוויונות אלה בעלי חשיבות גבוהה שכן הם באים לכמת את [[משפט הגבול המרכזי]] ומספקים לנו הבנה על קצב ההתכנסות דבר שחשוב ביישומים פרקטים. שיטה שימושית לגזור תוצאות אלה היא בעזרת [[פונקציה יוצרת מומנטים]] של המשתנה המקרי. גולדן-תומסון בעצם מאפשר לנו להרחיב את שיטה זו למטריצות. 

דוגמה שתמחיש את רעיון היא [[אי-שוויון צ'רנוף]]: יהי <math>X_1,  \dots , X_n </math> משתנים מקריים סקלרים המתפלגים בהתפלגות זהה באופן בלתי תלוי עם ערכים ב<math>[-1,1]
</math> עם תוחלת 0 ושונות <math>\sigma ^ 2/N</math> אזי:

<math>P(X_1 + \dots + X_N \geq \lambda \sigma ) \leq \max\{e^{-\lambda^2/4},e^{-\lambda \sigma /2}\}</math>

עבור <math>\lambda > 0
</math>.  הצעד הראשון בהוכחה הוא שימוש ב[[אי-שוויון מרקוב]] על מנת לקבל:

<math display="block">P(X_1 + \dots + X_N \geq \lambda \sigma ) \leq e^{-t \lambda \sigma } \mathbf{E} [ e^{t(X_1 + \dots + X_N )}]</math> כאשר <math>t>0</math> הוא פרמטר כלשהו שיש לנו בחירה עליו. פה בעצם מגיע החלק שאי שוויון גולדן-תומסון חשוב. 

במקרה של משתנים מקריים סקאלרים ניתן לפרק את <math>e^{t(X_1 + \dots + X_n)}</math> למכפלה של <math>e^{tX_1},\dots , e^{tX_N}</math>. בגלל הנהנחה שהמשתנים בלתי תלויים ניתן לפרק את כל הביטוי שבצד ימין למעלה ל: <math>e^{-t\lambda \sigma} (\mathbf{E}[e^tX])^N</math> ולגזור חסם על הפונקציה היוצרת מומנטים. 

כאשר רוצים להרחיב את התוצאה הזו למטריצות הרמטיות אם אין את הנחת הקומוטטיביות האקסופננט לא מתפרק באופן דומה. לכן במקום זאת חוסמים ביטוי מהצורה <math>\mathbf{E}[\text{Tr}(e^{t(X_1+\dots + X_N)})]</math> בעזרת גולדן-תומסון ומקבלים:
<math display="block">\mathbf{E}[\text{Tr}(e^{t(X_1+\dots + X_{N-1})} e^{tX_N}) ] </math>

מהנחת האי-תלות ניתן לפרק את הביטוי ל:

<math display="block">\text{Tr}( \mathbf{E}(e^{t(X_1 + \dots + X_{N-1})})\mathbf{E}(e^{tX_N}))</math>

על ידי שימוש בהנחה שהמטריצות חיוביות ובאבחנה ש <math>\text{Tr}(AB) = \langle A, B \rangle _{F} </math> ניתן להפעיל אי שיוויון קושי שוורץ ולקבל חסם מהצורה:

<math display="block">\Vert \mathbf{E}(e^{tX_n} )\Vert _{\text{F}} \text{Tr}(\mathbf{E}e^{t(X_1 + \dots + X_{N-1})})</math>

על ידי הפעלה חוזרת של שלב זה ניתן לקבל את אי השוויון הנדרש:

<math>\mathbf{E}(\text{Tr} e^{t(X_1 + \dots + X_N)}) \leq \Vert \mathbf{E} e^{tX} \Vert_{F}^N</math>

ומפה ההוכחה כבר זהה למקרה הסקאלרי (חסימת הפונקציה היוצרת מומנטים). כלומר גולדן-תומסון מאפשר לנו להתמודד עם חיסרון הקומוטטיביות כדי לפרק את האקספוננט.

== אי-שוויון העקבה של פון נוימן ==
== אוסף של אי שיוויונות עקבה נוספים חשובים ==

== ראו גם ==
== קישורים חיצוניים ==
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}