טיוטה:אי-שיוויונות עקבה

תבנית:בעבודה אקדמית במתמטיקה, אי שוויונות עקבה הוא שם כולל לאוסף אי-שיוויונות העוסקים במטריצות , ולכן גם באופרטורים הלינארים שמייצגות, המוגדרות מעל מרחבי הילברט. אי-שיוויונות אלה בפרט מתעסקים בעקבה של מטריצות ומספקים חסמים על העקבה תחת הנחות מסוימות.

העקבה של מטריצה ידועה להיות ערך שאינו תלוי בבחירת הבסיס מה שהופך אותה להיות בעלת חשיבות רבה לחקר אופרטורים (שכן מקודדת בתוכה מידע שאינו תלוי בבסיס הנבחר). בנוסף לעקבה של מטריצה יש קשר ישיר לספקטרום שלה מהיותה שווה לסכום הערכים העצמיים של המטריצה. תכונות אלה ועוד הופכות את אי-שיוויונות העקבה לכלי שימושי וחשוב בחקר אופרטרים ולמידתם.

אי שוויונות עקבה הם כלי שימושי בתחומים רבים כמו תורת הבקרה, תורת האינפורמציה הקוונטית, מערכות תקשורת ו-פונקציות מטריציאליות.

הגדרות רלוונטיות

פונקציות מטריציאליות

נרצה קודם להגדיר היטב הפעלה של פונקציה $f$ על מטריצה $A$. כדי לבצע זו בצורה בעלת עניין נגביל את עצמנו קודם לאוסף המטריצות ההרמטיות החיוביות ${𝐇}_n$, שלפי משפט הפירוק הספקטרלי הן מטריצות לכסינות מה שמאפשר לנו להשתמש בהגדרה הבאה:

יהי $f:I\to ℝ$ פונקציה ממשית , אז $f(A)$ (כאשר $A$ מטריצה הרמטית עם ערכים עצמיים ב-$I$ ו-$P_j$ הטלות למרחבים העצמיים של המטריצה) מוגדר כ:$$f(A)\equiv \sum _{j}f({\lambda }_j)P_j$$

יחס סדר חלקי ומונוטוניות האופרטור

לאורך הערך נניח יחס סדר חלקי על הקבוצה ${𝐇}_n$ כך ש $A\ge B$ גורר שהאופרטור $A-B\ge 0$ מוגדר חיובית.

עם הגדרה זו ביד קל להגדיר מונוטניות לפונקציה מטריציאלית $f:I\to ℝ$ אם לכל $A,B\in {𝐇}_n$ וערכים עצמיים ב$I$ ישנה הגרירה: $$A\ge B\to f(A)\ge f(B)$$.

$f$ כזו תיקורא אופרטור מונוטוני. אמנם הגדרת המונוטוניות לאופרטורים נראת די שקולה להגדרה עבור פונקציות ממשיות אך ניתן לראות שהיא לפעמים נוגדת את האינטואציה שכן $f(A)=A^2$ אינו אופרטור מונוטוני.

אופרטור קמור

יהי $f:I\to ℝ$. $f$ תיקרא אופרטור קמור אם לכל $A,B\in {𝐇}_n$ עם ערכים עצמים ב- $I$ , ו-$0<\lambda <1$ התנאי הבא קורה: $$f(\lambda A+(1-\lambda )B)\le \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B)$$

$f$ תיקרא אופרטור קעור אם $-f$ אופרטור קמור.

אי-שוויון גולדן-תומפסון

יהי $A,B\in {ℂ}^{n\times n}$ מטריצות הרמטיות אזי מתקיים אי השוויון הבא:

$$\text{Tr}{e}^{A+B}\le \text{Tr}(e^A{e}^B)$$

יש להבחין שהאי-שוויון מוגדר היטב שכן שני הביטויים מובטחים להיות מספרים ממשיים .עבור צד שמאל קל לראות זאת שכן $A,B$ הרמטיות ולכן האלכסון שלהם ממשי, עבור צד ימין ניתן להשתמש בעובדה שעבור מכפלה של 3 מטריצות סימטריות העקבה אינווריאנטית לפרמוטציות ולכן:

$\text{Tr}(e^A{e}^B)=\text{Tr}(e^{A/2}{e}^{A/2}{e}^B)=\text{Tr}(e^{A/2}{e}^B{e}^{A/2})$

וקיבלנו שהביטוי בתוך העקבה הינו הרמטי שכן $A,B$ הרמטיות ובנוסף $e^{A^{*}}=(e^A{)}^{*}$ .

דרך נוספת לתיאור האי-שוויון היא בעזרת נורמת פרובניוס שמוגדרת להיות: $\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\text{Tr}(A^{*}A)}$ ואז אי-שוויון גולדן תומפסון שקול ל:

$\Vert e^{A+B}{\Vert }_F\le \Vert e^A{e}^B{\Vert }_F$

דבר מפתיע באי שוויון זה שאין שום הנחה על קומוטטיביות של המטריצות. עבור מטריצות הרמטיות וקומוטטיביות מתקיים שוויון $e^{A+B}=e^A{e}^B$ , גולדן-תומפסון מראה לנו שאם מורידים את דרישת הקומוטטיביות עדיין יש קשר בין שני ערכים אלה.

כעת נראה את עיקר ההוכחה תבנית:הערה של משפט זה, ההוכחה היא יישום של רעיון כללי יותר להוכחות אי-שוויונות בשם "טריק חזקות הטנזורים" תבנית:הערה. בגישה זו אנו רוצים להוכיח $X\le Y$ עבור $X,Y$ אי-שלילים אך יודעים רק להוכיח אי שוויונות חלשים יותר מהצורה $X\le CY$ עד לכדי גורם כפלי $C$ כלשהו. מפה הרעיון הוא להחליף את כל האוביקטים באי השוויון בחזקות של עצמם כדי להגיע לצורה של: $X^M\le C{Y}^M$ כאשר $C$ אינו תלוי ב$M$. לאחר מכן מפעילים גבול כאשר $M\to \mathrm{\infty }$ על $X\le C^{\frac{1}{M}}Y$ כדי להגיע לאי השוויון הנדרש.

שימושים של אי-שיוויון גולדן-תומפסון בהסתברות רב מימדית

אי שיוויונות ריכוז בהסתברות הן אי שיוויונות המתעסקים בריכוז בסטייה של התפלגות מהתוחלת. אי שיוויונות אלה בעלי חשיבות גבוהה שכן הם באים לכמת את משפט הגבול המרכזי ומספקים לנו הבנה על קצב ההתכנסות דבר שחשוב ביישומים פרקטים. שיטה שימושית לגזור תוצאות אלה היא בעזרת פונקציה יוצרת מומנטים של המשתנה המקרי. גולדן-תומסון בעצם מאפשר לנו להרחיב את שיטה זו למטריצות.

דוגמה שתמחיש את רעיון היא אי-שוויון צ'רנוף: יהי $X_1,\dots ,X_n$ משתנים מקריים סקלרים המתפלגים בהתפלגות זהה באופן בלתי תלוי עם ערכים ב$[-1,1]$ עם תוחלת 0 ושונות ${\sigma }^2/N$ אזי:

$P(X_1+\dots +X_N\ge \lambda \sigma )\le \max \{e^{-{\lambda }^2/4},e^{-\lambda \sigma /2}\}$

עבור $\lambda >0$. הצעד הראשון בהוכחה הוא שימוש באי-שוויון מרקוב על מנת לקבל:

$$P(X_1+\dots +X_N\ge \lambda \sigma )\le e^{-t\lambda \sigma }𝐄[e^{t(X_1+\dots +X_N)}]$$ כאשר $t>0$ הוא פרמטר כלשהו שיש לנו בחירה עליו. פה בעצם מגיע החלק שאי שוויון גולדן-תומסון חשוב.

במקרה של משתנים מקריים סקאלרים ניתן לפרק את $e^{t(X_1+\dots +X_n)}$ למכפלה של $e^{t{X}_1},\dots ,e^{t{X}_N}$. בגלל הנהנחה שהמשתנים בלתי תלויים ניתן לפרק את כל הביטוי שבצד ימין למעלה ל: $e^{-t\lambda \sigma }(𝐄[e^{t}X]{)}^N$ ולגזור חסם על הפונקציה היוצרת מומנטים.

כאשר רוצים להרחיב את התוצאה הזו למטריצות הרמטיות אם אין את הנחת הקומוטטיביות האקסופננט לא מתפרק באופן דומה. לכן במקום זאת חוסמים ביטוי מהצורה $𝐄[\text{Tr}(e^{t(X_1+\dots +X_N)})]$ בעזרת גולדן-תומסון ומקבלים: $$𝐄[\text{Tr}(e^{t(X_1+\dots +X_{N-1})}{e}^{t{X}_N})]$$

מהנחת האי-תלות ניתן לפרק את הביטוי ל:

$$\text{Tr}(𝐄(e^{t(X_1+\dots +X_{N-1})})𝐄(e^{t{X}_N}))$$

על ידי שימוש בהנחה שהמטריצות חיוביות ובאבחנה ש $\text{Tr}(AB)=⟨A,B{⟩}_F$ ניתן להפעיל אי שיוויון קושי שוורץ ולקבל חסם מהצורה:

$$\Vert 𝐄(e^{t{X}_n}){\Vert }_{\text{F}}\text{Tr}(𝐄e^{t(X_1+\dots +X_{N-1})})$$

על ידי הפעלה חוזרת של שלב זה ניתן לקבל את אי השוויון הנדרש:

$𝐄(\text{Tr}{e}^{t(X_1+\dots +X_N)})\le \Vert 𝐄e^{tX}{\Vert }_F^N$

ומפה ההוכחה כבר זהה למקרה הסקאלרי (חסימת הפונקציה היוצרת מומנטים). כלומר גולדן-תומסון מאפשר לנו להתמודד עם חיסרון הקומוטטיביות כדי לפרק את האקספוננט.