הצגת המקור של הדף "טיוטה:התמרת צ'ירנהאוס"

'''התמרת צ'ירנהאוס''' (או טרנספורמציית צ'ירנהאוס) היא התמרת פולינומים, אשר מתבצעת על פולינום אי-פריק ויכולה לפשט את הליך מציאת השורשים שלו על ידי פתירת פולינום מותמר פשוט יותר.

ההתמרה פותחה על ידי '''*ארנפרייד וולטר פון צ'ירנהאוס*''' בשנת 1683. ההתמרה ניתנת להגדרה במונחי '''*תורת השדות*'''




= הגדרה=
בהינתן פולינום <math>P(x)</math> מעל שדה <math>K</math>. בהינתן כי <math>P(x)</math> פולינום אי פריק, אז חוג המנה של חוק הפולינומים <math>K[t]</math>, המוגדר על ידי האידיאל הראשי של <math>P(x)</math>:
<math>K[t]/(P(x))=L</math> הוא הרחבת השדה <math>K</math>.

מכאן מתקיים: <math>L = K(\alpha)</math>, כאשר <math>\alpha</math> מייצג את <math>t</math> מודולו <math>P(x)</math>
כלומר כל איבר של <math>L</math> הוא פולינום במשנתה <math>\alpha</math>, ומכאן ש-<math>\alpha</math> איבר פרימיטיבי של <math>L</math>.

ניתן גם לבחור <math>\beta</math>, שורשים פרימיטיביים אחרים של <math>L</math> ולכל בחירה <math>\beta</math>, נשתמש בהגדרה: 
<math>\beta=F(\alpha), \alpha=G(\beta)</math>, כאשר <math>F,G</math> פולינומים עם מקדמים מהשדה <math>K</math>.
כעת נגדיר את <math>Q</math> בתור הפולינום המינימלי של <math>\beta</math> מעל <math>K</math>. אז <math>Q</math> הוא התמרת צ'ירנאהוס של <math>P</math>.

נבחין כי בעצם ההתמרה של <math>P</math> תלוייה בבחירת <math>F</math>, המתנהג בתור "החלפת משתנה", וכי כל התמרות צ'ירנהאוס של <math>P</math> הן כל הפולינומים שיחליפו את <math>P</math> אבל ישאירו את <math>L</math> בהגדרתו על פי הרחבת השדה <math>K</math>.

=דוגמאות=

==התמרה בעזרת פונקציה ליניארית==

הדודגמא הפשוטה ביותר, והדבר הראשון שעושים על כל פולינום שאת שורשיו רוצים למצוא, הינו התמרה ליניארית, המדמה "הזזה" בציר ה-<math>x</math> של הפונקציה.
עבור הפולינום ממעלה <math>n</math>, כלומר <math>P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i=a_0+a_1x+...+ a_{n-1}x^{n-1}+a_n x^n</math>, או אם נניח כי המקדם המוביל הוא 1 (אחרת אפשר לחלק את כל המקדמים באותו מקדם מוביל ולקבל אותו הדבר) <math>P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>. מכאן נבצע את הטרנספורמציה <math>y=x+\frac{a_{n-1}}n</math>, ובעזרת [[טור טיילור]] נקבל <math>P^*(y)=\sum_{i=k}^n b_k y^k</math>, כאשר: <math>b_k=\frac{P^{(k)}(-\frac{a_{n-1}}n)}{k!}</math>. נבחין כי <math>P^n(x)=n!</math> ולכן <math>b_n=1</math>, וכי <math>P^{n-1}(x)=n!*x-a_{n-1}*(n-1)!</math> ולכן <math>b_{n-1}=0</math>. כלומר ההתמרה הליניארית הנ"ל משאירה את המקדם המוביל 1 ומשמיטה את המקדם שלאחריו. 

למשל עבור פונקציה ריבועית אם <math>P(x)=x^2+bx+c</math> אז עם ההתמרה <math>y=x+\frac b 2</math> מתקבל הפולינום <math>P^*(y)=y^2+c-\frac{b^2}4</math> ששורשיו טריוויאליים <math>y_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4c}}2</math> ומכאן השורשים של הפולינום המקורי הם <math>x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}2</math>. זוהי [[משוואה ממעלה שנייה|נוסחאת השורשים]] כאשר המקדם הראשי הוא <math>a=1</math>.


ישנן גם התמרות ליניאריות אחרות (למעשה כל הצבה של <math>y=ax+b</math> תתן התמרה ליניארית אחרת לפולינום המקורי), אותן ניתן לחשב באופן דומה על ידי טורי טיילור.

==עבור משוואה מעוקבת==
המשוואה המעוקבת הכללית היא <math>P(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0</math> אבל לאחר התמרה ליניארית ניתן להניח כי <math>a_2=0</math>, כלומר המשוואה היא <math>P(x)=x^3+px+q=0</math>. כעת נבחר בהתמרת צ'ירנאהוס ריבועית על ידי ההצבה <math>F(x)=y=x^2+ax+b</math>. ניתן לחשב את ההתמרה <math>P(y)=0</math> בעזרת חישוב [[רזולטנט|הרזולטנט]] של <math>P(x)</math> עם <math>F(x)-y=x^2+ax+(b-y)</math>, ומתקבל <math>P(y)=y^3+c_2y^2+C_1x+c_0=0</math> כאשר כל <math>c_i</math> הוא מקדם התלוי במשתנים <math>a,b,p,q</math>. נרצה להביע את <math>a,b</math> על ידי <math>p,q</math> כך שהמקדמים <math>c_2=c_1=0</math>. בחישוב של <math>c_1,c_2</math>
יוצא <math>c_2=2p-3b, c_1=pa^2+3qa+3b^2-4pb+p^2</math>, עבור <math>c_2=0</math> נקבל <math>b=\frac{2p}3</math>, ועבור <math>c_1=0</math> לאחר הצבה של <math>b</math> נקבל משוואה ריבועית: <math>pa^2+3qa-\frac{p^2}3=0</math> עם הפתרון <math>a=\frac{-\frac q 2 \pm \sqrt{\frac{q^2}4 +\frac{p^3}{27}}}{\frac p 3}</math>, ונקבל כי <math>c_0=(\frac{4pq}{3}+\frac{9q^3}{p^2})a-\frac{8p^3}{27}-2q^2=\frac{pa}{3}(2a+\frac{3q}{p})^3</math>, והמשוואה הסופית היא <math>P(y)=y^3+c_0=0</math> שפתרונותיה הן <math>y_k=-\sqrt[3]{c_0}\omega_3^k=-(2a+\frac{3q}{p})\sqrt[3]{\frac{pa}{3}}\omega_3^k</math>, כאשר <math>\omega_3=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i</math> שורש היחידה מסדר 3. מכל פתרון <math>y_k</math> ניתן לפתור משוואה ריבועית <math>x^2+ax+b-y_k=0</math> אשר תביא 2 פתרונות, אחד מהם הוא <math>x_k</math> שורש של <math>P(x)</math> (והשני איננו שורש <math>P(x)=0</math>, ניתן לבדוק על ידי הצבת הביטוי ובדיקה האם מתקבל 0). ניתן לראות כי התשובה תואמת את [[משוואה ממעלה שלישית#שיטת קרדאנו|שיטת קרדאנו]].

==עבור משוואה ממעלה חמישית==

המשוואה הכללית ממעלה חמישית היא <math>P(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0</math> אבל לאחר התמרה ליניארית ניתן להניח כי <math>a_4=0</math>, כלומר המשוואה היא <math>P(x)=x^5+px^3+qx^2+rx+s=0</math>. כעת נבחר בהתמרת צ'ירנאהוס ריבועית על ידי ההצבה <math>F(x)=y=x^2+ax+b</math>. שוב ניתן לחשב את ההתמרה על ידי הרזולטנט של <math>P(y)=0</math> עם <math>F(x)-y=x^2+ax+(b-y)</math>. ומתקבל <math>P(y)=y^5+c_4y^4+c_3y^3+c_2y^2+C_1x+c_0=0</math> כאשר כל <math>c_i</math> הוא מקדם התלוי במשתנים <math>a,b,p,q,r,s</math>. נרצה להביע את <math>a,b</math> על ידי <math>p,q,r,s</math> כך שהמקדמים <math>c_4=c_3=0</math>. בחישוב של <math>c_3,c_4</math>
יוצא <math>c_4=2p-5b, c_1=pa^2+3qa+10b^2-8pb+p^2+2r</math>, עבור <math>c_4=0</math> נקבל <math>b=\frac{2p}5</math>, ועבור <math>c_1=0</math> לאחר הצבה של <math>b</math> נקבל משוואה ריבועית: <math>pa^2+3qa+2r-\frac{3p^2}5=0</math> עם הפתרון <math>a=\frac{-3q \pm \sqrt{9q^2 +\frac{12p^3}{5}-8pr}}{2p}</math>, ואת אלו ניתן להציב בביטויים של <math>c_2,c_1,c_0</math> במשוואה הסופית <math>P(y)=y^5+c_2y^2+c_1y+c_0=0</math>. 
ניתן אף לפשט את הביטוי על ידי שימוש '''בהתמרת נוספת ממעלה 4:''' <math>z=y^4+\alpha y^3+\beta y^2+\gamma y+\delta</math>, ובכך גם לאפס את המקדם <math>c_2</math> (ולקבל את המשוואה <math>P(z)=z^5+c_1z+c_0=0</math>).
אם <math>c_1=0</math> ניתן לפתור את המשוואה על ידי שורש חמישי (ובכלל על ידי רדיקלים)- <math>z_k=-\sqrt[5]{c_0}*\omega_5^k</math>. אחרת ניתן לפתור על ידי [[רדיקל ברינג]] (עד כדי כפל ב-<math>-\sqrt[4]{c_1}</math>), ובכלל במצב זה למשוואה אין פתרון על ידי רדיקלים (פרט למספר מקרים ידועים). לאחר מציאת <math>z_k</math> ניתן לשחזר את <math>y_k</math> ואת <math>x_k</math>.

= ראו גם =
* [[משוואה ממעלה חמישית]]

= לקריאה נוספת =
* שם סופר, '''שם ספר''', שם הוצאה, תאריך הוצאה

= קישורים חיצוניים =
* [http://www.example.com התוכן בקישור], באתר (שם האתר)

= הערות שוליים =
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים של משתמשים חדשים|2021 12]]