טיוטה:התמרת צ'ירנהאוס

התמרת צ'ירנהאוס (או טרנספורמציית צ'ירנהאוס) היא התמרת פולינומים, אשר מתבצעת על פולינום אי-פריק ויכולה לפשט את הליך מציאת השורשים שלו על ידי פתירת פולינום מותמר פשוט יותר.

ההתמרה פותחה על ידי *ארנפרייד וולטר פון צ'ירנהאוס* בשנת 1683. ההתמרה ניתנת להגדרה במונחי *תורת השדות*

הגדרה

בהינתן פולינום $P(x)$ מעל שדה $K$. בהינתן כי $P(x)$ פולינום אי פריק, אז חוג המנה של חוק הפולינומים $K[t]$, המוגדר על ידי האידיאל הראשי של $P(x)$: $K[t]/(P(x))=L$ הוא הרחבת השדה $K$.

מכאן מתקיים: $L=K(\alpha )$, כאשר $\alpha$ מייצג את $t$ מודולו $P(x)$ כלומר כל איבר של $L$ הוא פולינום במשנתה $\alpha$, ומכאן ש-$\alpha$ איבר פרימיטיבי של $L$.

ניתן גם לבחור $\beta$, שורשים פרימיטיביים אחרים של $L$ ולכל בחירה $\beta$, נשתמש בהגדרה: $\beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )$, כאשר $F,G$ פולינומים עם מקדמים מהשדה $K$. כעת נגדיר את $Q$ בתור הפולינום המינימלי של $\beta$ מעל $K$. אז $Q$ הוא התמרת צ'ירנאהוס של $P$.

נבחין כי בעצם ההתמרה של $P$ תלוייה בבחירת $F$, המתנהג בתור "החלפת משתנה", וכי כל התמרות צ'ירנהאוס של $P$ הן כל הפולינומים שיחליפו את $P$ אבל ישאירו את $L$ בהגדרתו על פי הרחבת השדה $K$.

דוגמאות

התמרה בעזרת פונקציה ליניארית

הדודגמא הפשוטה ביותר, והדבר הראשון שעושים על כל פולינום שאת שורשיו רוצים למצוא, הינו התמרה ליניארית, המדמה "הזזה" בציר ה-$x$ של הפונקציה. עבור הפולינום ממעלה $n$, כלומר $P(x)=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+...+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n$, או אם נניח כי המקדם המוביל הוא 1 (אחרת אפשר לחלק את כל המקדמים באותו מקדם מוביל ולקבל אותו הדבר) $P(x)=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}^i=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$. מכאן נבצע את הטרנספורמציה $y=x+\frac{a_{n-1}}{n}$, ובעזרת טור טיילור נקבל $P^{*}(y)=\sum _{i=k}^n{b}_k{y}^k$, כאשר: $b_k=\frac{P^{(k)}(-\frac{a_{n-1}}{n})}{k!}$. נבחין כי $P^n(x)=n!$ ולכן $b_n=1$, וכי $P^{n-1}(x)=n!*x-a_{n-1}*(n-1)!$ ולכן $b_{n-1}=0$. כלומר ההתמרה הליניארית הנ"ל משאירה את המקדם המוביל 1 ומשמיטה את המקדם שלאחריו.

למשל עבור פונקציה ריבועית אם $P(x)=x^2+bx+c$ אז עם ההתמרה $y=x+\frac{b}{2}$ מתקבל הפולינום $P^{*}(y)=y^2+c-\frac{b^2}{4}$ ששורשיו טריוויאליים $y_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4c}}{2}$ ומכאן השורשים של הפולינום המקורי הם $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$. זוהי נוסחאת השורשים כאשר המקדם הראשי הוא $a=1$.

ישנן גם התמרות ליניאריות אחרות (למעשה כל הצבה של $y=ax+b$ תתן התמרה ליניארית אחרת לפולינום המקורי), אותן ניתן לחשב באופן דומה על ידי טורי טיילור.

עבור משוואה מעוקבת

המשוואה המעוקבת הכללית היא $P(x)=x^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$ אבל לאחר התמרה ליניארית ניתן להניח כי $a_2=0$, כלומר המשוואה היא $P(x)=x^3+px+q=0$. כעת נבחר בהתמרת צ'ירנאהוס ריבועית על ידי ההצבה $F(x)=y=x^2+ax+b$. ניתן לחשב את ההתמרה $P(y)=0$ בעזרת חישוב הרזולטנט של $P(x)$ עם $F(x)-y=x^2+ax+(b-y)$, ומתקבל $P(y)=y^3+c_2{y}^2+C_{1}x+c_0=0$ כאשר כל $c_i$ הוא מקדם התלוי במשתנים $a,b,p,q$. נרצה להביע את $a,b$ על ידי $p,q$ כך שהמקדמים $c_2=c_1=0$. בחישוב של $c_1,c_2$ יוצא $c_2=2p-3b,c_1=p{a}^2+3qa+3b^2-4pb+p^2$, עבור $c_2=0$ נקבל $b=\frac{2p}{3}$, ועבור $c_1=0$ לאחר הצבה של $b$ נקבל משוואה ריבועית: $p{a}^2+3qa-\frac{p^2}{3}=0$ עם הפתרון $a=\frac{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}{\frac{p}{3}}$, ונקבל כי $c_0=(\frac{4pq}{3}+\frac{9q^3}{p^2})a-\frac{8p^3}{27}-2q^2=\frac{pa}{3}(2a+\frac{3q}{p}{)}^3$, והמשוואה הסופית היא $P(y)=y^3+c_0=0$ שפתרונותיה הן $y_k=-\sqrt[3]{c_0}{\omega }_3^k=-(2a+\frac{3q}{p})\sqrt[3]{\frac{pa}{3}}{\omega }_3^k$, כאשר ${\omega }_3=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ שורש היחידה מסדר 3. מכל פתרון $y_k$ ניתן לפתור משוואה ריבועית $x^2+ax+b-y_k=0$ אשר תביא 2 פתרונות, אחד מהם הוא $x_k$ שורש של $P(x)$ (והשני איננו שורש $P(x)=0$, ניתן לבדוק על ידי הצבת הביטוי ובדיקה האם מתקבל 0). ניתן לראות כי התשובה תואמת את שיטת קרדאנו.

עבור משוואה ממעלה חמישית

המשוואה הכללית ממעלה חמישית היא $P(x)=x^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$ אבל לאחר התמרה ליניארית ניתן להניח כי $a_4=0$, כלומר המשוואה היא $P(x)=x^5+p{x}^3+q{x}^2+rx+s=0$. כעת נבחר בהתמרת צ'ירנאהוס ריבועית על ידי ההצבה $F(x)=y=x^2+ax+b$. שוב ניתן לחשב את ההתמרה על ידי הרזולטנט של $P(y)=0$ עם $F(x)-y=x^2+ax+(b-y)$. ומתקבל $P(y)=y^5+c_4{y}^4+c_3{y}^3+c_2{y}^2+C_{1}x+c_0=0$ כאשר כל $c_i$ הוא מקדם התלוי במשתנים $a,b,p,q,r,s$. נרצה להביע את $a,b$ על ידי $p,q,r,s$ כך שהמקדמים $c_4=c_3=0$. בחישוב של $c_3,c_4$ יוצא $c_4=2p-5b,c_1=p{a}^2+3qa+10b^2-8pb+p^2+2r$, עבור $c_4=0$ נקבל $b=\frac{2p}{5}$, ועבור $c_1=0$ לאחר הצבה של $b$ נקבל משוואה ריבועית: $p{a}^2+3qa+2r-\frac{3p^2}{5}=0$ עם הפתרון $a=\frac{-3q\pm \sqrt{9q^2+\frac{12p^3}{5}-8pr}}{2p}$, ואת אלו ניתן להציב בביטויים של $c_2,c_1,c_0$ במשוואה הסופית $P(y)=y^5+c_2{y}^2+c_{1}y+c_0=0$. ניתן אף לפשט את הביטוי על ידי שימוש בהתמרת נוספת ממעלה 4: $z=y^4+\alpha y^3+\beta y^2+\gamma y+\delta$, ובכך גם לאפס את המקדם $c_2$ (ולקבל את המשוואה $P(z)=z^5+c_{1}z+c_0=0$). אם $c_1=0$ ניתן לפתור את המשוואה על ידי שורש חמישי (ובכלל על ידי רדיקלים)- $z_k=-\sqrt[5]{c_0}*{\omega }_5^k$. אחרת ניתן לפתור על ידי רדיקל ברינג (עד כדי כפל ב-$-\sqrt[4]{c_1}$), ובכלל במצב זה למשוואה אין פתרון על ידי רדיקלים (פרט למספר מקרים ידועים). לאחר מציאת $z_k$ ניתן לשחזר את $y_k$ ואת $x_k$.

ראו גם

• משוואה ממעלה חמישית

לקריאה נוספת

• שם סופר, שם ספר, שם הוצאה, תאריך הוצאה

קישורים חיצוניים

• התוכן בקישור, באתר (שם האתר)