הצגת המקור של הדף "טיוטה:ערכי נגזרות"

על מנת למצוא [[נגזרת]] של פונקציה <math>f(x)</math>, יש להגדיר נקודה <math>(x,f(x))</math> ונקודה <math>(x_1,f(x_1))</math> מימין לה כאשר ההפרש שואף לאפס ולחשב את ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]]:<math>f'(x)=\lim_{x_1 \to x}\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}</math>.

==פונקציות בסיסיות==
===פולינום===
לחישוב הנגזרת: <math>(x^n)'</math>, נשתמש בנוסחה:

<math>a^n - b^n = (a - b)\sum^n_{k=1}a^{n - k}b^{k - 1}</math>.

נכתוב:<math>\lim_{x_1 \to x}\frac{x^n - x_1^n}{x -x_1} = \lim_{x_1 \to x}\frac{(x - x_1)\sum^n_{k=1}x^{n-k}x_1^{k-1}}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\sum^n_{k=1}x^{n-k}x_1^{k-1}=\sum^n_{k=1}x^{n-k+k-1}=nx^{n-1}</math>.

(הביטוי <math>\sum^n_{k=1}x^{n-k+k-1}</math> כולל בתוכו n איברים.)

מסקנה: <math>(x^n)'=nx^{n-1}</math>.

===פונקציה רציונלית===
<math>\lim_{x_1 \to x}\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_1}}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{\frac{x_1 - x}{x \cdot x_1}}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{x_1 - x}{x\cdot x_1(x - x_1)}=\lim_{x_1 \to x}-\frac{1}{x\cdot x_1}=-\frac{1}{x^2}</math>.

מסקנה: <math>\left(\frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{x^2}</math>

===שורש===
<math>\lim_{x_1 \to x}\frac{\sqrt x - \sqrt x_1}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{(\sqrt x - \sqrt x_1)(\sqrt x + \sqrt x_1)}{(x - x_1)(\sqrt x + \sqrt x_1)}=\lim_{x_1 \to x}\frac{x-x_1}{(x-x_1)(\sqrt x + \sqrt x_1)}=\lim_{x_1 \to x}\frac{1}{\sqrt x + \sqrt x_1}=\frac{1}{2\sqrt x}</math>

(על פי הנוסחה: <math>(a-b)(a+b)=a^2-b^2</math>).

מסקנה: <math>(\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}</math>.

(הערה: ניתן להגיע לנגזרות של שורש ורציונלית גם באמצעות פולינום במעריך שלילי או שבר).

==מספר קבוע==
הנגזרת של מספר קבוע היא אפס.

הוכחה:
<math>(a)'=\lim_{x_1 \to x}\frac{a-a}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{0}{x - x_1} =\lim_{x_1 \to x}0=0</math>

===מכפלה במספר קבוע===
הנגזרת של פונקציה המוכפלת במספר קבוע שווה למספר הקבוע כפול הנגזרת של הפונקציה.

הוכחה:
<math>(af(x))'=\lim_{x_1 \to x}\frac{af(x)-af(x_1)}{x-x_1}=a\lim_{x_1 \to x}\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}=af'(x)</math>

==שתי פונקציות==
===פונקציה מורכבת===
הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית (כאשר הפונקציה הפנימית משמשת משתנה) כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית.

הוכחה:
<math>(f(g(x)))'=\lim_{x_1 \to x}\frac{f(g(x))-f(g(x_1))}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\left(\frac{f(g(x))-f(g(x_1))}{g(x)-g(x_1)}\cdot \frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}\right)=\lim_{x_1 \to x}\frac{f(g(x))-f(g(x_1))}{g(x)-g(x_1)}\lim_{x_1 \to x}\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}=f'(g(x))g'(x)</math>

===סכום והפרש===
<math>(f(x)\pm g(x))'=\lim_{x_1 \to x}\frac{f(x) \pm g(x)-(f(x_1) \pm g(x_1))}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{f(x)-f(x_1) \pm (g(x)-g(x_1))}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} \pm \lim_{x_1 \to x}\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}=f'(x) \pm g'(x)</math>

מסקנה: <math>(f(x) \pm g(x))'=f'(x) \pm g'(x)</math>

===מכפלה===
<math>f(x)g(x))'=\lim_{x_1 \to x}\frac{f(x)g(x)-f(x_1)g(x_1)}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{f(x)g(x)-f(x_1)g(x)+f(x_1)g(x)-f(x_1)g(x_1)}{x-x_1}=</math>

<math>=\lim_{x_1 \to x}\frac{g(x)(f(x)-f(x_1))+f(x_1)(g(x)-g(x_1))}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}g(x)\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}+\lim_{x_1 \to x}f(x_1)\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)
</math>

מסקנה: <math>(f(x)g(x))'=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)</math>

===מנה===
הנגזרת של פונקציית מנה היא נגזרת של פונקציה המוכפלת בפונקציה רציונלית מורכבת.

<math>\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\left(f(x)\frac{1}{g(x)}\right)'=f'(x)\frac{1}{g(x)}+f(x)\left(\frac{1}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)}{g(x)}+f(x)\left(-\frac{g'(x)}{(g(x))^2}\right)=\frac{f'(x)g(x)}{(g(x))^2}-\frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}</math>

מסקנה: <math>\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}</math>

==פונקציות מעריכיות==
נראה כי לכל פונקציה מעריכית מתקיים:

<math>f(x)=a^x\Rightarrow f'(x)=a^x\cdot f'(0)</math>

הוכחה:

<math>(a^x)'=\lim_{x_1\to x}\frac{a^x-a^{x_1}}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{a^{x_1}(a^{x-x_1}-1)}{x-x_1}=a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}</math>

<math>(h=x-x_1)</math>

נגזור בנקודה x=0:

<math>f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{a^0-a^h}{-h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}</math>

ונקבל:

<math>f(x)=a^x\Rightarrow f'(x)=a^x\cdot f'(0)</math>

כלומר נגזרת של פונקציה מעריכית שווה לפונקציה עצמה עד כדי מכפלה בקבוע
===בסיס [[e (קבוע מתמטי)|e]] ([[אקספוננט]])===
נשתמש בכך שהפונקציות המעריכיות בעלות בסיס חיובי קעורות כלפי מעלה.

הוכחה:

<math>f''(x)=k^2a^x</math> (k הוא הקבוע).

מכיוון שכל מספר שהוא ריבוע של [[מספר ממשי]] הוא חיובי וכל חזקה של מספר חיובי היא חיובית, הנגזרת השנייה חיובית והפונקציה קעורה כלפי מעלה.
כלומר כל המשיקים נמצאים מתחת לגרף הפונקציה.

ניקח מספר c שהפונקציה המעריכית שהוא בסיסה שווה לעצמה ונראה שהוא שווה לe.

נשתמש בעובדה שכל פונקציה מעריכית עוברת בנקודה (0,1) ובמקרה של הפונקציה שבחרנו, שיפוע המשיק בנקודה יהיה 1 והמספר החופשי שלו יהיה 1 וכל ערך בו קטן מערכי הפונקציה.

<math>c^x>x+1\Rightarrow c^{\frac{1}{n}}>1+\frac{1}{n}\Rightarrow c>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

וכן:

<math>c^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\Rightarrow \frac{1}{c^{\frac{1}{n+1}}}>\frac{n}{n+1}\Rightarrow c^{\frac{1}{n+1}}<\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\Rightarrow c<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>

משני אי השוויונים נקבל:

<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<c<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\Rightarrow 1<\frac{c}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<1+\frac{1}{n}\Rightarrow 1<\lim_{n\to\infty}\frac{c}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1\Rightarrow \frac{c}{e}=1\Rightarrow c=e</math>

(על פי חוקי הגבולות)

כלומר פונקציה שנגזרתה שווה לעצמה היא <math>e^x</math> ולכן <math>(e^x)'=e^x</math>

===בסיס כלשהו===
<math>(a^x)'=(e^{\ln a\cdot x})'=\ln a\cdot e^{\ln a\cdot x}=\ln a\cdot a^x</math>

כלומר:

<math>(a^x)'=\ln a\cdot a^x</math>

==פונקציות לוגריתמיות==
===[[הלוגריתם הטבעי]] <math>(\ln)</math>===
נשתמש בחוק:

<math>\ln (e^x)=x</math>

נגזור את שני האגפים ונקבל:

<math>\ln'(e^x)\cdot e^x=1\Rightarrow \ln'(e^x)=\frac{1}{e^x}</math>

נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית: <math>f(e^x)=\frac{1}{e^x}</math> שפיתרונה הוא: <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>.

כלומר:

<math>(\ln x)'=\frac{1}{x}</math>

===לוגריתם כללי===
על אותו עיקרון, נקבל:

<math>\log_a(a^x)=x\Rightarrow \log_a'(a^x)=\frac{1}{\ln a\cdot a^x}\Rightarrow(\log_ax)'=\frac{1}{\ln a\cdot x}</math>
==[[פונקציות טריגונומטריות]]==
===פונקציות טריגונומטריות בסיסיות===
====סינוס====
[[קובץ:Boundary of sine and partial angles.png|ממוזער|למציאת הגבול <math>\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}</math>]]
נחשב את הגבול <math>\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}</math>.

נתבונן בצורה משמאל. ה[[רדיוס]] של המעגל הוא 1 והזווית המרכזית היא x ([[רדיאנים]]).
ניתן לראות כי <math>bc<\stackrel\frown {be}<de</math>.{{הערה|אם נעביר משיק לקשת be בנקודה b ונקרא f לנקודה שבה הוא פוגש את de, נקבל: <math>bf<df</math> (המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה והיתר גדול מכל אחד מהניצבים) ולכן: <math>bf+fe<de</math>. ניתן לראות בקלות כי: <math>\stackrel \frown {be}<bf+fe<de</math>.}}

נביע את <math>bc,\stackrel \frown {be},de</math> בעזרת זווית x.

<math>\frac{bc}{1}=\sin{x} \Rightarrow bc=\sin x</math>

<math>\stackrel \frown {be}=x</math> (קשת המתאימה לזווית רדיאנית)

<math>\frac{de}1=\tan x \Rightarrow de=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math>

נקבל את אי-השוויון:

<math>\sin x<x<\frac{\sin x}{\cos x}</math>

נחלק בסינוס x:

<math>1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\Rightarrow 1>\frac{\sin x}{x}>\cos x</math>

ולכן גם הגבול:

<math>\lim_{x \to 0}1>\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}>\lim_{x \to 0}\cos x</math>

כאשר x שואף ל0 קוסינוס שואף ל1 ולכן:

<math>1>\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}>1</math>

כלומר:

<math>\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1</math>

נשתמש בנוסחה <math>\sin a - \sin b=2\sin{\frac{a-b}{2}}\cos{\frac{a+b}{2}}</math>, ונכתוב:

<math>(\sin x)'=\lim_{x_1 \to x}\frac{\sin x - \sin{x_1}}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{2\sin{\frac{x-x_1}{2}}\cos{\frac{x+x_1}{2}}}{x-x_1}=\lim_{x_1 \to x}\frac{\sin{\frac{x-x_1}{2}}}{\frac{x-x_1}{2}}\lim_{x_1 \to x}\cos{\frac{x+x_1}{2}}=1\cdot \cos x=\cos x</math>

(כאשר <math>x_1 \to x</math>, מתקיים <math>(x-x_1) \to 0</math>.)

מסקנה: <math>(\sin x)'=\cos x</math>

====קוסינוס====
נגזרת של קוסינוס היא נגזרת של סינוס מורכבת (על פי הזהות: <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math>.)

נכתוב:

<math>(\cos x)'=\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)'=-1\cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\sin x</math>

מסקנה:

<math>(\cos x)'=-\sin x</math>

====טנגנס====
נשתמש בזהות: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math>.

נכתוב:

<math>(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}</math>

(על פי הזהות: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math>.)

מסקנה: <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math>
===הפונקציות הטריגונומטריות סקאנס, קוסקאנס וקוטנגנס===
====סקאנס====
נשתמש בנגזרת של פונקציה רציונלית מורכבת ונכתוב:

<math>(\sec x)'=\left(\frac{1}{\cos x}\right)'=-\frac{-\sin x}{\cos^2 x}=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\frac{\tan x}{\cos x}=\tan x \cdot \sec x</math>

====קוסקאנס====
נפתור בדרך דומה:

<math>(\csc x)'=\left(\frac{1}{\sin x}\right)'=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}=-\frac{\cot x}{\sin x}=-\cot x \cdot \csc x</math>
====קוטנגנס====
נשתמש בזהות: <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math>.

נכתוב:

<math>(\cot x)'=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'=\frac{(\cos x)'\sin x-\cos x(\sin x)'}{\sin^2 x}=\frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin^2 x}</math>

(על פי הזהות: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math>.)

מסקנה: <math>(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}</math>

===פונקציות טריגונומטריות הופכיות (בסיסיות)===
====סינוס====
ניעזר בקשר:

<math>\arcsin(\sin x)=x</math>

נגזור את שני הצדדים (צד שמאל על פי פונקציה מורכבת):

<math>(\arcsin(\sin x))'=\arcsin'(\sin x)\cdot \cos x</math>

<math>x'=1</math>

ונקבל:

<math>\arcsin'(\sin x)=\frac{1}{\cos x}</math>

נקבל את [[משוואה דיפרנציאלית|המשוואה הדיפרנציאלית]]:

<math>f(\sin x)=\frac{1}{\cos x}</math>

שפתרונה הוא:

<math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

(על פי הזהות: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math>)

ולכן:

<math>(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

====קוסינוס====

נפתור בדרך דומה:

<math>\arccos(\cos x)=x \Rightarrow\arccos'(\cos x)=-\frac{1}{\sin x} \Rightarrow (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

====טנגנס====

<math>\arctan(\tan x)=x \Rightarrow\arctan'(\tan x)=\cos^2 x</math>

כלומר המשוואה היא:

<math>f\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\cos^2 x \Rightarrow f(x)=\frac{1}{1+x^2}</math>

<math>\left(\frac{1}{1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}=\cos^2 x\right)</math>

ולכן:

<math>(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}</math>
===פונקציות טריגונומטריות הופכיות (סקאנס, קוסקנאס וקוטנגנס)===
====סקאנס====
<math>\arcsec(\sec x)=x \Rightarrow \arcsec'(\sec x)=\frac{1}{\tan x \cdot \sec x} \Rightarrow (\arcsec x)'=\frac{1}{x^2 \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x \sqrt{x^2 -1}}</math>

====קוסקאנס====
<math>\arccsc(\csc x)=x \Rightarrow \arccsc'(\csc x)=-\frac{1}{\cot x \cdot \csc}\Rightarrow -\frac{1}{x\sqrt{x^2 -1}}</math>

====קוטנגנס====
<math>\arccot (\cot x)=x \Rightarrow \arccot'(\cot x)=-\sin^2 x \Rightarrow (\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}</math>
==קישורים חיצוניים==
* {{קישור כללי|כתובת=https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/|כותרת=נגזרת, נגזרות {{!}} לומדים מתמטיקה|תאריך_וידוא=2020-08-23|אתר=www.m-math.co.il}}, לומדים מתמטיקה
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[:קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]