טיוטה:ערכי נגזרות

על מנת למצוא נגזרת של פונקציה $f(x)$, יש להגדיר נקודה $(x,f(x))$ ונקודה $(x_1,f(x_1))$ מימין לה כאשר ההפרש שואף לאפס ולחשב את הגבול:$f^{\prime }(x)=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$.

פונקציות בסיסיות

פולינום

לחישוב הנגזרת: $(x^n{)}^{\prime }$, נשתמש בנוסחה:

$a^n-b^n=(a-b)\sum _{k=1}^n{a}^{n-k}{b}^{k-1}$.

נכתוב:$\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{x^n-x_1^n}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{(x-x_1)\sum _{k=1}^n{x}^{n-k}{x}_1^{k-1}}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\sum _{k=1}^n{x}^{n-k}{x}_1^{k-1}=\sum _{k=1}^n{x}^{n-k+k-1}=n{x}^{n-1}$.

(הביטוי $\sum _{k=1}^n{x}^{n-k+k-1}$ כולל בתוכו n איברים.)

מסקנה: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$.

פונקציה רציונלית

$\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_1}}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{\frac{x_1-x}{x\cdot x_1}}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{x_1-x}{x\cdot x_1(x-x_1)}=\underset{x_1\to x}{\lim }-\frac{1}{x\cdot x_1}=-\frac{1}{x^2}$.

מסקנה: $\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$

שורש

$\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{\sqrt{x}-{\sqrt{x}}_1}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{(\sqrt{x}-{\sqrt{x}}_1)(\sqrt{x}+{\sqrt{x}}_1)}{(x-x_1)(\sqrt{x}+{\sqrt{x}}_1)}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{x-x_1}{(x-x_1)(\sqrt{x}+{\sqrt{x}}_1)}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+{\sqrt{x}}_1}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

(על פי הנוסחה: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$).

מסקנה: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

(הערה: ניתן להגיע לנגזרות של שורש ורציונלית גם באמצעות פולינום במעריך שלילי או שבר).

מספר קבוע

הנגזרת של מספר קבוע היא אפס.

הוכחה: $(a{)}^{\prime }=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{a-a}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{0}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }0=0$

מכפלה במספר קבוע

הנגזרת של פונקציה המוכפלת במספר קבוע שווה למספר הקבוע כפול הנגזרת של הפונקציה.

הוכחה: $(af(x){)}^{\prime }=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{af(x)-af(x_1)}{x-x_1}=a\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}=a{f}^{\prime }(x)$

שתי פונקציות

פונקציה מורכבת

הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית (כאשר הפונקציה הפנימית משמשת משתנה) כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית.

הוכחה: $(f(g(x)){)}^{\prime }=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(x_1))}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }(\frac{f(g(x))-f(g(x_1))}{g(x)-g(x_1)}\cdot \frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1})=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(x_1))}{g(x)-g(x_1)}\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

סכום והפרש

$(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(x)\pm g(x)-(f(x_1)\pm g(x_1))}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(x)-f(x_1)\pm (g(x)-g(x_1))}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\pm \underset{x_1\to x}{\lim }\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$

מסקנה: $(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$

מכפלה

$f(x)g(x){)}^{\prime }=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(x)g(x)-f(x_1)g(x_1)}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{f(x)g(x)-f(x_1)g(x)+f(x_1)g(x)-f(x_1)g(x_1)}{x-x_1}=$

$=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{g(x)(f(x)-f(x_1))+f(x_1)(g(x)-g(x_1))}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }g(x)\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}+\underset{x_1\to x}{\lim }f(x_1)\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}=g(x)f^{\prime }(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

מסקנה: $(f(x)g(x){)}^{\prime }=g(x)f^{\prime }(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

מנה

הנגזרת של פונקציית מנה היא נגזרת של פונקציה המוכפלת בפונקציה רציונלית מורכבת.

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=(f(x)\frac{1}{g(x)})=f^{\prime }(x)\frac{1}{g(x)}+f(x)\left(\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}+f(x)(-\frac{g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2})=\frac{f^{\prime }(x)g(x)}{(g(x){)}^2}-\frac{f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

מסקנה: $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

פונקציות מעריכיות

נראה כי לכל פונקציה מעריכית מתקיים:

$f(x)=a^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=a^x\cdot f^{\prime }(0)$

הוכחה:

$(a^x{)}^{\prime }=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{a^x-a^{x_1}}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{a^{x_1}(a^{x-x_1}-1)}{x-x_1}=a^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}$

$(h=x-x_1)$

נגזור בנקודה x=0:

$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^0-a^h}{-h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}$

ונקבל:

$f(x)=a^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=a^x\cdot f^{\prime }(0)$

כלומר נגזרת של פונקציה מעריכית שווה לפונקציה עצמה עד כדי מכפלה בקבוע

בסיס e (אקספוננט)

נשתמש בכך שהפונקציות המעריכיות בעלות בסיס חיובי קעורות כלפי מעלה.

הוכחה:

$f^{″}(x)=k^2{a}^x$ (k הוא הקבוע).

מכיוון שכל מספר שהוא ריבוע של מספר ממשי הוא חיובי וכל חזקה של מספר חיובי היא חיובית, הנגזרת השנייה חיובית והפונקציה קעורה כלפי מעלה. כלומר כל המשיקים נמצאים מתחת לגרף הפונקציה.

ניקח מספר c שהפונקציה המעריכית שהוא בסיסה שווה לעצמה ונראה שהוא שווה לe.

נשתמש בעובדה שכל פונקציה מעריכית עוברת בנקודה (0,1) ובמקרה של הפונקציה שבחרנו, שיפוע המשיק בנקודה יהיה 1 והמספר החופשי שלו יהיה 1 וכל ערך בו קטן מערכי הפונקציה.

$c^x>x+1\Rightarrow c^{\frac{1}{n}}>1+\frac{1}{n}\Rightarrow c>{(1+\frac{1}{n})}^n$

וכן:

$c^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\Rightarrow \frac{1}{c^{\frac{1}{n+1}}}>\frac{n}{n+1}\Rightarrow c^{\frac{1}{n+1}}<\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\Rightarrow c<{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$

משני אי השוויונים נקבל:

${(1+\frac{1}{n})}^n<c<{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}\Rightarrow 1<\frac{c}{{(1+\frac{1}{n})}^n}<1+\frac{1}{n}\Rightarrow 1<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{c}{{(1+\frac{1}{n})}^n}<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n})=1\Rightarrow \frac{c}{e}=1\Rightarrow c=e$

(על פי חוקי הגבולות)

כלומר פונקציה שנגזרתה שווה לעצמה היא $e^x$ ולכן $(e^x{)}^{\prime }=e^x$

בסיס כלשהו

$(a^x{)}^{\prime }=(e^{\ln a\cdot x}{)}^{\prime }=\ln a\cdot e^{\ln a\cdot x}=\ln a\cdot a^x$

כלומר:

$(a^x{)}^{\prime }=\ln a\cdot a^x$

פונקציות לוגריתמיות

הלוגריתם הטבעי $(\ln )$

נשתמש בחוק:

$\ln (e^x)=x$

נגזור את שני האגפים ונקבל:

${\ln }^{\prime }(e^x)\cdot e^x=1\Rightarrow {\ln }^{\prime }(e^x)=\frac{1}{e^x}$

נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית: $f(e^x)=\frac{1}{e^x}$ שפיתרונה הוא: $f(x)=\frac{1}{x}$.

כלומר:

$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

לוגריתם כללי

על אותו עיקרון, נקבל:

${\log }_a(a^x)=x\Rightarrow {{\log }_a}^{\prime }(a^x)=\frac{1}{\ln a\cdot a^x}\Rightarrow ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\ln a\cdot x}$

פונקציות טריגונומטריות

פונקציות טריגונומטריות בסיסיות

סינוס

קובץ:Boundary of sine and partial angles.png

למציאת הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$

נחשב את הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$.

נתבונן בצורה משמאל. הרדיוס של המעגל הוא 1 והזווית המרכזית היא x (רדיאנים). ניתן לראות כי $bc<\stackrel{⌢}{be}<de$.תבנית:הערה

נביע את $bc,\stackrel{⌢}{be},de$ בעזרת זווית x.

$\frac{bc}{1}=\sin x\Rightarrow bc=\sin x$

$\stackrel{⌢}{be}=x$ (קשת המתאימה לזווית רדיאנית)

$\frac{de}{1}=\tan x\Rightarrow de=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

נקבל את אי-השוויון:

$\sin x<x<\frac{\sin x}{\cos x}$

נחלק בסינוס x:

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\Rightarrow 1>\frac{\sin x}{x}>\cos x$

ולכן גם הגבול:

$\underset{x\to 0}{\lim }1>\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}>\underset{x\to 0}{\lim }\cos x$

כאשר x שואף ל0 קוסינוס שואף ל1 ולכן:

$1>\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}>1$

כלומר:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

נשתמש בנוסחה $\sin a-\sin b=2\sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2}$, ונכתוב:

$(\sin x{)}^{\prime }=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{\sin x-\sin x_1}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{2\sin \frac{x-x_1}{2}\cos \frac{x+x_1}{2}}{x-x_1}=\underset{x_1\to x}{\lim }\frac{\sin \frac{x-x_1}{2}}{\frac{x-x_1}{2}}\underset{x_1\to x}{\lim }\cos \frac{x+x_1}{2}=1\cdot \cos x=\cos x$

(כאשר $x_1\to x$, מתקיים $(x-x_1)\to 0$.)

מסקנה: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

קוסינוס

נגזרת של קוסינוס היא נגזרת של סינוס מורכבת (על פי הזהות: $\cos x=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$.)

נכתוב:

$(\cos x{)}^{\prime }=(\sin (\frac{\pi }{2}-x))=-1\cdot \cos (\frac{\pi }{2}-x)=-\sin x$

מסקנה:

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

טנגנס

נשתמש בזהות: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$.

נכתוב:

$(\tan x{)}^{\prime }=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

(על פי הזהות: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.)

מסקנה: $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

הפונקציות הטריגונומטריות סקאנס, קוסקאנס וקוטנגנס

סקאנס

נשתמש בנגזרת של פונקציה רציונלית מורכבת ונכתוב:

$(\sec x{)}^{\prime }=\left(\frac{1}{\cos x}\right)=-\frac{-\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{\tan x}{\cos x}=\tan x\cdot \sec x$

קוסקאנס

נפתור בדרך דומה:

$(\csc x{)}^{\prime }=\left(\frac{1}{\sin x}\right)=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}=-\frac{\cot x}{\sin x}=-\cot x\cdot \csc x$

קוטנגנס

נשתמש בזהות: $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$.

נכתוב:

$(\cot x{)}^{\prime }=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\frac{(\cos x{)}^{\prime }\sin x-\cos x(\sin x{)}^{\prime }}{{\sin }^{2}x}=\frac{-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}{{\sin }^{2}x}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

(על פי הזהות: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.)

מסקנה: $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

פונקציות טריגונומטריות הופכיות (בסיסיות)

סינוס

ניעזר בקשר:

$\arcsin (\sin x)=x$

נגזור את שני הצדדים (צד שמאל על פי פונקציה מורכבת):

$(\arcsin (\sin x){)}^{\prime }={\arcsin }^{\prime }(\sin x)\cdot \cos x$

$x^{\prime }=1$

ונקבל:

${\arcsin }^{\prime }(\sin x)=\frac{1}{\cos x}$

נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית:

$f(\sin x)=\frac{1}{\cos x}$

שפתרונה הוא:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(על פי הזהות: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$)

ולכן:

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

קוסינוס

נפתור בדרך דומה:

$\arccos (\cos x)=x\Rightarrow {\arccos }^{\prime }(\cos x)=-\frac{1}{\sin x}\Rightarrow (\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

טנגנס

$\arctan (\tan x)=x\Rightarrow {\arctan }^{\prime }(\tan x)={\cos }^{2}x$

כלומר המשוואה היא:

$f\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)={\cos }^{2}x\Rightarrow f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

$(\frac{1}{1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}={\cos }^{2}x)$

ולכן:

$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

פונקציות טריגונומטריות הופכיות (סקאנס, קוסקנאס וקוטנגנס)

סקאנס

$\mathrm{arcsec}(\sec x)=x\Rightarrow {\mathrm{arcsec}}^{\prime }(\sec x)=\frac{1}{\tan x\cdot \sec x}\Rightarrow (\mathrm{arcsec}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

קוסקאנס

$\mathrm{arccsc}(\csc x)=x\Rightarrow {\mathrm{arccsc}}^{\prime }(\csc x)=-\frac{1}{\cot x\cdot \csc }\Rightarrow -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

קוטנגנס

$\mathrm{arccot}(\cot x)=x\Rightarrow {\mathrm{arccot}}^{\prime }(\cot x)=-{\sin }^{2}x\Rightarrow (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

קישורים חיצוניים

• תבנית:קישור כללי, לומדים מתמטיקה