הצגת המקור של הדף "מודל אוטו-רגרסיבי"

'''מודל אוטו-רגרסיבי''' (באנגלית: '''autoregressive model''') או בקיצור '''AR''', הוא משפחת מודלים המשמשים לייצוג [[סדרה עתית]] של [[תהליך סטוכסטי]], בו ערך המשתנה המנובא בעל נקודה ב[[זמן]], <math>X_t</math>, [[תלות ליניארית|תלוי ליניארית]] בערכי אותו המשתנה בזמנים קודמים, וברכיב רעש. המודל משמש לייצוג, לחיזוי, ולניתוח תהליכים אקראיים בעלי תלות עתית.

== הגדרה ותכונות ==
הסימון <math>AR(p)</math> מייצג מודל אוטו-רגרסיבי מסדר <math>p</math>, המוגדר באמצעות הביטוי:
:<math> X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \varepsilon_t</math>
כאשר <math>X_t</math> מייצג את ערך המשתנה <math>X</math> בזמן <math>t</math>, <math>p</math> מייצג את מספר הנקודות בזמן לפני <math>t</math> המשמשות ל[[ניבוי]], <math>\varphi_i</math> הוא [[פרמטר]] חופשי [[אמידה|המשוערך]] עבור ערכי <math>X</math> בנקודות בזמנים שלפני <math>t</math>, <math>X_{t-i}</math> הקובע את משקלם בניבוי <math>X_t</math> ו-<math>\varepsilon_t</math> מייצג רכיב של [[רעש לבן]] בנקודה בזמן <math>t</math>.
[[קובץ:ArTimeSeries.svg|ממוזער|alt="Figure has 5 plots of AR processes. AR(0) and AR(0.3) are white noise or look like white noise. AR(0.9) has some large scale oscillating structure."|באיור זה מוצגים 5 סדרות עתיות. העליונה מציגה סדרה המורכבת מרעש בלבד (AR0), לאחריה שתי סדרות של מודל AR מסדר 1 ושתי סדרות מסדר 2. הסדרות בתוך כל סדר נבדלות זו מזו בערכי ה-<math>\varphi_i</math>.|381x381 פיקסלים]][[משוואה]] זו ניתנת לכתיבה באמצעות [[אופרטור ה-LAG]] {{אנ|Lag operator}} <math>L</math> באופן הבא:
<math> X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i X_{t} + \varepsilon_t </math>.
עבור המקרה הפשוט <math>AR(1)</math> עבורו <math>p=1</math>, ניתן לכתוב את המודל כך:
<math> X_t =\varphi X_{t-1} + \varepsilon_t</math>
במקרה זה, <math>X_t</math> תלוי באופן ישיר רק בערכו בנקודת הזמן הקודמת לו <math>X_{t-1}</math>, וברעש.
עם זאת מאחר שתלות זו קיימת לכל הנקודות בזמן, אז גם נקודות שלפני <math>X_{t-1}</math>, יהיו בעלות כושר ניבוי של-<math>X_t</math>, כלומר [[מתאם|הקורלציה]] ביניהן תהא גדולה מאפס ב[[ערך מוחלט|ערכה המוחלט]]. לדוגמה <math>\mid \text{Corr} (X_t, X_{t-2})\mid> 0</math>. תכונה זו נכונה גם לסדרים גדולים מאחד. לכן עבור ניתוח סדרה עתית באמצעות מודל <math>AR</math>, שימוש ב[[תרשים]] [[פונקציית אוטו-קורלציה חלקית]] {{אנ|Partial autocorrelation function}} (או בקיצור PACF) יעיל לקביעת הסדר במקרים רבים. גרף זה, מציג את ה[[קורלציה חלקית|מתאם חלקי]] של <math>X_t</math> כל פעם עם נקודה אחרת הקודמת בזמן <math>X_{t-i}</math>, בניכוי המתאמים עם שאר הנקודות שבין זמן <math>t</math> לזמן <math>t-i</math>.

== הרחבות ==
למודל AR הוצעו עם השנים מספר הרחבות. מהחשובות שבהן ניתן למנות את מודל [[ARMA]] {{אנ|Autoregressive moving-average model}}, המשלב יחד עם AR גם תלות בין רכיבי הרעש של המשתנה <math>X</math> בזמנים שונים, באופן דומה לתלות המוצגת במודל Moving-average {{אנ|Moving-average model}}, כמו גם את מודל [[ARIMA]] {{אנ|Autoregressive integrated moving average}}, מודל המרחיב את מודל ARMA גם למקרים לא סטיונריים, כלומר כאלו עם שונות ותוחלת המשתנים בזמן.

== ראו גם ==
* [[מבחן גריינג'ר]]
* [[נראות מקסימלית]]
* [[התמרת פורייה]]

== לקריאה נוספת ==
:Hyndman, R.J., & Athanasopoulos, G. (2021) ''Forecasting: principles and practice'', 3rd edition, OTexts: Melbourne, Australia. [https://otexts.com/fpp3/ OTexts.com/fpp3].

[[קטגוריה:סטטיסטיקה]]