מודל אוטו-רגרסיבי

מודל אוטו-רגרסיבי (באנגלית: autoregressive model) או בקיצור AR, הוא משפחת מודלים המשמשים לייצוג סדרה עתית של תהליך סטוכסטי, בו ערך המשתנה המנובא בעל נקודה בזמן, $X_t$, תלוי ליניארית בערכי אותו המשתנה בזמנים קודמים, וברכיב רעש. המודל משמש לייצוג, לחיזוי, ולניתוח תהליכים אקראיים בעלי תלות עתית.

הגדרה ותכונות

הסימון $AR(p)$ מייצג מודל אוטו-רגרסיבי מסדר $p$, המוגדר באמצעות הביטוי:

$X_t=\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t$

כאשר $X_t$ מייצג את ערך המשתנה $X$ בזמן $t$, $p$ מייצג את מספר הנקודות בזמן לפני $t$ המשמשות לניבוי, ${\phi }_i$ הוא פרמטר חופשי המשוערך עבור ערכי $X$ בנקודות בזמנים שלפני $t$, $X_{t-i}$ הקובע את משקלם בניבוי $X_t$ ו-${\epsilon }_t$ מייצג רכיב של רעש לבן בנקודה בזמן $t$.

באיור זה מוצגים 5 סדרות עתיות. העליונה מציגה סדרה המורכבת מרעש בלבד (AR0), לאחריה שתי סדרות של מודל AR מסדר 1 ושתי סדרות מסדר 2. הסדרות בתוך כל סדר נבדלות זו מזו בערכי ה-${\phi }_i$.

משוואה זו ניתנת לכתיבה באמצעות אופרטור ה-LAG תבנית:אנ

$L$

באופן הבא:

$X_t=\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i{X}_t+{\epsilon }_t$. עבור המקרה הפשוט $AR(1)$ עבורו $p=1$, ניתן לכתוב את המודל כך: $X_t=\phi X_{t-1}+{\epsilon }_t$ במקרה זה, $X_t$ תלוי באופן ישיר רק בערכו בנקודת הזמן הקודמת לו $X_{t-1}$, וברעש. עם זאת מאחר שתלות זו קיימת לכל הנקודות בזמן, אז גם נקודות שלפני $X_{t-1}$, יהיו בעלות כושר ניבוי של-$X_t$, כלומר הקורלציה ביניהן תהא גדולה מאפס בערכה המוחלט. לדוגמה $\mid \text{Corr}(X_t,X_{t-2})\mid >0$. תכונה זו נכונה גם לסדרים גדולים מאחד. לכן עבור ניתוח סדרה עתית באמצעות מודל $AR$, שימוש בתרשים פונקציית אוטו-קורלציה חלקית תבנית:אנ (או בקיצור PACF) יעיל לקביעת הסדר במקרים רבים. גרף זה, מציג את המתאם חלקי של $X_t$ כל פעם עם נקודה אחרת הקודמת בזמן $X_{t-i}$, בניכוי המתאמים עם שאר הנקודות שבין זמן $t$ לזמן $t-i$.

הרחבות

למודל AR הוצעו עם השנים מספר הרחבות. מהחשובות שבהן ניתן למנות את מודל ARMA תבנית:אנ, המשלב יחד עם AR גם תלות בין רכיבי הרעש של המשתנה $X$ בזמנים שונים, באופן דומה לתלות המוצגת במודל Moving-average תבנית:אנ, כמו גם את מודל ARIMA תבנית:אנ, מודל המרחיב את מודל ARMA גם למקרים לא סטיונריים, כלומר כאלו עם שונות ותוחלת המשתנים בזמן.

ראו גם

• מבחן גריינג'ר
• נראות מקסימלית
• התמרת פורייה

לקריאה נוספת

Hyndman, R.J., & Athanasopoulos, G. (2021) Forecasting: principles and practice, 3rd edition, OTexts: Melbourne, Australia. OTexts.com/fpp3.